Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.

1. On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.

2. Conclure.

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[oraux/ex0388] mines 2003 Soient \(H_n=\left\{\vphantom{|_|}A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ {}^tAA=nI_n\hbox{ et }\forall i,j,\ a_{i,j}\in\{-1,1\}\right\}\), \[\widetilde U=\left(\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}\right)\quad\hbox{et} \quad\widetilde V=\sum\limits_{k=1}^nV_k,\] où les \(V_k\) sont les colonnes de \(A\).

1. On note \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   Calculer \(\langle V_{k_1},V_{k_2}\rangle={}^tV_{k_1}V_{k_2}\), \(\|\widetilde V\|^2\) et \(\|\widetilde U\|^2\). En déduire l’existence de \(\xi\) tel que \(\|\widetilde V\|\times\|\widetilde U\|=n^\xi\).

2. Soit : \[\begin{array}{rcl}\phi:\mathscr{M}_n(\mathbf{R})&\longrightarrow\mathbf{R}\\ A&\longmapsto&\sum\limits_{i,j}a_{i,j}.\end{array}\] Montrer que \(|\phi(A)|\leqslant n^\xi\).

3. Montrer que, si \(n\) n’est pas un carré, que l’on n’a jamais égalité.

4. Dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\), trouver \(A\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=-4\) et \(\phi(A)=4^\xi\).

5. Montrer que pour tout \(A\) de \(h_n\) il existe \(\Delta\) et \(\Delta'\) diagonales à coefficients diagonaux dans \(\{-1,1\}\) telles que \(B=\Delta A\Delta'\) soit de la forme : \[\left(\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\ 1&*&\cdots&*\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&*&\cdots&*\end{array}\right).\]

[examen/ex1617] mines MP 2024 Soit \(E\) un espace réel de dimension \(n\geqslant 2\). Lorsque \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(E\), on note \(\mathscr{O}_{\Phi}(E)\) le groupe des isométries pour \(\Phi\), et \(\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour \(\Phi\).

1. On fixe un produit scalaire \(\Phi\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\Psi\) est un produit scalaire,

   2. \(\exists a\in\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\), \(\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)\).

2. Soit \(u\in\mathscr{O}_{\Phi}(E)\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \(u\in\mathscr{O}_{\Psi}(E)\) (on utilisera l’endomorphisme \(a\) de la question précédente).

3. Soit \(P\) l’ensemble des produits scalaires sur \(E\). Déterminer \(\mathop{\bigcap}\limits\limits_{\Psi \in P}\mathscr{O}_{\Psi}(E)\).