Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).

[oraux/ex0388] mines 2003 Soient \(H_n=\left\{\vphantom{|_|}A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ {}^tAA=nI_n\hbox{ et }\forall i,j,\ a_{i,j}\in\{-1,1\}\right\}\), \[\widetilde U=\left(\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}\right)\quad\hbox{et} \quad\widetilde V=\sum\limits_{k=1}^nV_k,\] où les \(V_k\) sont les colonnes de \(A\).

1. On note \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   Calculer \(\langle V_{k_1},V_{k_2}\rangle={}^tV_{k_1}V_{k_2}\), \(\|\widetilde V\|^2\) et \(\|\widetilde U\|^2\). En déduire l’existence de \(\xi\) tel que \(\|\widetilde V\|\times\|\widetilde U\|=n^\xi\).

2. Soit : \[\begin{array}{rcl}\phi:\mathscr{M}_n(\mathbf{R})&\longrightarrow\mathbf{R}\\ A&\longmapsto&\sum\limits_{i,j}a_{i,j}.\end{array}\] Montrer que \(|\phi(A)|\leqslant n^\xi\).

3. Montrer que, si \(n\) n’est pas un carré, que l’on n’a jamais égalité.

4. Dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\), trouver \(A\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=-4\) et \(\phi(A)=4^\xi\).

5. Montrer que pour tout \(A\) de \(h_n\) il existe \(\Delta\) et \(\Delta'\) diagonales à coefficients diagonaux dans \(\{-1,1\}\) telles que \(B=\Delta A\Delta'\) soit de la forme : \[\left(\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\ 1&*&\cdots&*\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&*&\cdots&*\end{array}\right).\]

[oraux/ex0823] centrale PSI 2009 Soient \(E=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\), \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(\Phi:S\in E\mapsto AS+S{}^tA\in E\).

1. Donner la matrice de \(\Phi\) dans une base de \(E\).

2. Quelle relation existe-t-il entre \(\chi_A\) et \(\chi_\Phi\) ?

3. Si \(\Phi\) est diagonalisable, la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Si \(A\) est diagonalisable, l’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]

[oraux/ex0635] ens lyon PC 2008 On se place dans \(\mathbf{R}^{2n}\) muni du produit scalaire canonique. Soit \(E\) le sous-espace vectoriel engendré par les \(n\) premiers vecteurs de la base canonique. On appelle \(\pi\) la projection orthogonale sur \(E\). Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(\forall x\in E\), \(\|\varphi(x)\|\leqslant\|x\|\). Montrer qu’il existe \(\sigma\in\mathscr{O}(\mathbf{R}^{2n})\) tel que \(\varphi=\pi\mathbin{\circ}\sigma_{|E}\).