Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5581] centrale MP 2012 On note \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) l’ensemble des matrices réelles symétriques de taille \(n\) à coefficients positifs.

1. Une matrice de \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ? Que des valeurs propres strictement négatives ?

2. Soient \(A\in {\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\), \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres, \((X_1,\ldots ,X_n)\) une base orthonormée telle que \(\forall i\in\{1,\ldots ,n\}\,\;A\,X_i=\lambda_i\,X_i\).

   Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on pose \(B(\alpha)=\left( \begin{array}{c|c} A&\alpha\,X_n\\ \hline \alpha\,{}^t\; X_n&0 \end{array}\right)\).

   1. Montrer que \(\lambda_1\),…, \(\lambda_{n-1}\) sont des valeurs propres de \(B(\alpha)\).

   2. On note \(\beta\) et \(\gamma\) les deux autres valeurs propres de \(B(\alpha)\). Exprimer \(\beta+\gamma\) et \(\beta\,\gamma\) en fonction de \(\lambda_n\) et \(\alpha\).

   3. Trouver \(A\in {\cal S}_2(\mathbf{R}^+)\) de valeurs propres \(-1\) et \(2\), et \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(B(\alpha)\) ait pour valeurs propres \(-1\), \(-2\) et \(4\).

[planches/ex8754] centrale PC 2022 Pour \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), on note \(O_S=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\ :\ M^TSM=S\}\). On pose \(E=\displaystyle\mathop{\bigcap}\limits_{S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})}O_S\).

1. Montrer que \(O_S\) est borné dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) pour tout \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Qu’en déduire sur \(E\) ?

2. Montrer que \(PMP^{-1}\in E\) pour tout \(M\in E\) et tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

3. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\{PMP^{-1},\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\) soit bornée.

4. En déduire que \(E=\{I_n,-I_n\}\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex3317] centrale M 1993 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). On considère \(n\) vecteurs \(u_1\), … , \(u_n\) de \(E\) et on note \(G\) la matrice \(\left((u_i\mid u_j)\right)\). Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes :

1. il existe un projecteur orthogonal \(p\) et une base orthonormale \((e_i)\) tels que \(p(e_i)=u_i\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,n\}\) ;

2. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits G\subset\{0,1\}\).

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?