Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9445] polytechnique MP 2023 On considère dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) les matrices \(J=\pmatrix{0 & -I_n \cr I_n & 0}\) et \(I=\pmatrix{I_n & 0 \cr0 & I_n}\).

1. Soit \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) tel que \(K^2=-I\). Montrer que \(K^TJ\in\mathscr{S}_{2n}(\mathbf{R})\) si et seulement si \(J=K^TJK\).

2. On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) telles que \(K^2=-I\) et \(K^TJ\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

   Soit \(K\in\mathscr{C}\). Montrer que \(K+J\) est inversible et que \((K+J)^{-1}(K-J)\) est symétrique.

3. Soit \(K\in\mathscr{C}\). On pose \(S=(K+J)^{-1}(K-J)\). Montrer que \(SJ+JS=0\).

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).

1. Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).

2. Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).

3. reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).

4. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).

[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).

1. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.

2. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]