Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3864] centrale MP 2025 On pose, pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(N(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left(\displaystyle\frac{|a_{i,j}|+|a_{j,i}|}{2}\right)\).

1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\). Montrer que \(|\lambda|\leqslant nN(A)\).

[examen/ex1090] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Si \(G\) est un groupe, on note \(Z(G)\) son centre.

On pose \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})=\{A\in\mathcal M_n(\mathbf{C})\,,\, A^*A=I_n\}\) où \(A^*=\overline{A}^T\), l’ensemble des matrices unitaires.

1. Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\) et que \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne, c’est-à-dire telle que \(A^*=A\). Démontrer qu’il existe \(P\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) soit diagonale.

3. Démontrer que toute matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) s’écrit comme combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

4. Déterminer \(Z\left(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\right)\).

[oraux/ex8193] ens paris MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(\mathscr{L}\) un endomorphisme de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que : \(\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}({}^tOSO)={}^tO\mathscr{L}(S)O\). Montrer qu’il existe \(\lambda\) et \(\mu\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(S)=\mu S+\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S)I_n\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex1061] polytechnique MP 1998

Soit \(\phi\) une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie. On suppose que \(a\) est un élément de \(E\) tel que \(\phi(a,a)\neq0\). On note \(A=\mathbf{R} a\), et \(B=\{y\in E\mid\phi(a,y)=0\}\).

1. Montrer : \(E=A\oplus B\).

2. On note \(G\) l’ensemble des endomorphismes \(u\) tels que : \[\forall(x,y)\in E^2\quad\phi(u(x),u(y))=\phi(x,y)\,.\] Montrer que la symétrie par rapport à \(A\) parallèlement à \(B\) est dans \(G\).

3. Soit \(G'\) le commutant de \(G\). Montrer que, si \(v\in G'\), \(v(a)\) est de la forme \(\lambda_aa\).

4. Soit \(b\) tel que \(\phi(b,b)\neq0\). Montrer que \(\lambda_a=\lambda_b\). Qu’en déduire sur \(v\) ?

5. Déterminer \(G'\).