Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]

[planches/ex4921] mines MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \({}^t\overline MM=I_n\).

1. Soit \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de \(A\), montrer que \(A\) s’écrit \(e^{iS}\) où \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Réciproque ?

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) si et seulement si \(A\) s’écrit \(Oe^{iS}\) avec \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?