Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3864] centrale MP 2025 On pose, pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(N(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left(\displaystyle\frac{|a_{i,j}|+|a_{j,i}|}{2}\right)\).

1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\). Montrer que \(|\lambda|\leqslant nN(A)\).

[concours/ex1061] polytechnique MP 1998

Soit \(\phi\) une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie. On suppose que \(a\) est un élément de \(E\) tel que \(\phi(a,a)\neq0\). On note \(A=\mathbf{R} a\), et \(B=\{y\in E\mid\phi(a,y)=0\}\).

1. Montrer : \(E=A\oplus B\).

2. On note \(G\) l’ensemble des endomorphismes \(u\) tels que : \[\forall(x,y)\in E^2\quad\phi(u(x),u(y))=\phi(x,y)\,.\] Montrer que la symétrie par rapport à \(A\) parallèlement à \(B\) est dans \(G\).

3. Soit \(G'\) le commutant de \(G\). Montrer que, si \(v\in G'\), \(v(a)\) est de la forme \(\lambda_aa\).

4. Soit \(b\) tel que \(\phi(b,b)\neq0\). Montrer que \(\lambda_a=\lambda_b\). Qu’en déduire sur \(v\) ?

5. Déterminer \(G'\).

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).

[planches/ex9445] polytechnique MP 2023 On considère dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) les matrices \(J=\pmatrix{0 & -I_n \cr I_n & 0}\) et \(I=\pmatrix{I_n & 0 \cr0 & I_n}\).

1. Soit \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) tel que \(K^2=-I\). Montrer que \(K^TJ\in\mathscr{S}_{2n}(\mathbf{R})\) si et seulement si \(J=K^TJK\).

2. On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) telles que \(K^2=-I\) et \(K^TJ\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

   Soit \(K\in\mathscr{C}\). Montrer que \(K+J\) est inversible et que \((K+J)^{-1}(K-J)\) est symétrique.

3. Soit \(K\in\mathscr{C}\). On pose \(S=(K+J)^{-1}(K-J)\). Montrer que \(SJ+JS=0\).

[oraux/ex8136] polytechnique, ens cachan PSI 2015

1. 1. Montrer que toute matrice symétrique définie positive est le carré d’une matrice symétrique définie positive.

   2. Montrer que toute matrice \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) peut s’écrire \(A=OS\) avec une matrice \(O\) orthogonale et une matrice \(S\) symétrique définie positive.

2. Soient \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(d\in[[1,n]]\). Pour tout \((x_1,\ldots,x_d)\in E^d\), on pose \(m(x_1,\ldots,x_d)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}(x_1,\ldots,x_d)|\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est libre, où \(\mathscr{B}\) est une base orthonormale du sous-espace \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x_1,\ldots,x_d)\), et \(m(x_1,\ldots,x_d)=0\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est liée.

   On note \(X_d=\left\{\vphantom{|_|}\smash{f\in\mathscr{L}(E),\ \forall(x_1,\ldots,x_d)\in E^d,\ m(f(x_1),\ldots,f(x_d))=m(x_1,\ldots,x_d)}\right\}\).

   1. Justifier la définition de \(m\).

   2. Montrer que les éléments de \(X_d\) sont des automorphismes et que \(X_d\) contient les isométries vectorielles.

   3. On suppose \(d<n\). Quels sont les endomorphismes symétriques de \(X_d\) ? En déduire que \(X_d\) est l’ensemble des isométries vectorielles.