Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2720] ens paris MP 2025 Soit \(H=(H_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). On suppose que, pour tous \(i\neq j\), \(H_{i,j}\leqslant 0\). Si \((i,j)\in[\![1,n]\!]^2\), on dit que \(i\) et \(j\) sont connectés s’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\), \(k_1,\ldots,k_m\in[\![1,n]\!]\) tels que \(k_1=i\), \(k_m=j\) et, pour tout \(\ell\in[\![1,m-1]\!]\), \(H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\neq0\).

Montrer que \(i\) et \(j\) sont connectés si et seulement si \(H^{-1}_{i,j}>0\), où \(H^{-1}_{i,j}\) est le coefficient d’indice \((i,j)\) de \(H^{-1}\).

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).

[oraux/ex7878] mines MP 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) qui commute avec sa transposée. Montrer que \(M\) est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont de taille 1, ou de taille 2 de la forme \(\pmatrix{\alpha&\beta\cr-\beta&\alpha}\).

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[planches/ex7568] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et \(k\in\mathbf{N}^*\).

Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((AB)^{2^k}\right)\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A^2B^2)^{2^{k-1}}\right)\).