Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5027] polytechnique MP 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(k\in\mathbf{N}\) impair tel que \(A^k+B^k=2I_n\). Montrer que \(2I_n-A-B\in S_n^+(\mathbf{R})\).

2. Soit \(j\in\mathbf{N}\) tel que \(2I_n-A^{2j}-B^{2j}\in S_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(2I_n-A^j-B^j\in S_n^+(\mathbf{R})\).

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.

2. Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?

4. Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).

5. Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.

[planches/ex8754] centrale PC 2022 Pour \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), on note \(O_S=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\ :\ M^TSM=S\}\). On pose \(E=\displaystyle\mathop{\bigcap}\limits_{S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})}O_S\).

1. Montrer que \(O_S\) est borné dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) pour tout \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Qu’en déduire sur \(E\) ?

2. Montrer que \(PMP^{-1}\in E\) pour tout \(M\in E\) et tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

3. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\{PMP^{-1},\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\) soit bornée.

4. En déduire que \(E=\{I_n,-I_n\}\).

[concours/ex3317] centrale M 1993 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). On considère \(n\) vecteurs \(u_1\), … , \(u_n\) de \(E\) et on note \(G\) la matrice \(\left((u_i\mid u_j)\right)\). Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes :

1. il existe un projecteur orthogonal \(p\) et une base orthonormale \((e_i)\) tels que \(p(e_i)=u_i\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,n\}\) ;

2. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits G\subset\{0,1\}\).