Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.

1. On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.

2. Conclure.

[planches/ex7568] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et \(k\in\mathbf{N}^*\).

Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((AB)^{2^k}\right)\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A^2B^2)^{2^{k-1}}\right)\).

[examen/ex3864] centrale MP 2025 On pose, pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(N(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\left(\displaystyle\frac{|a_{i,j}|+|a_{j,i}|}{2}\right)\).

1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\). Montrer que \(|\lambda|\leqslant nN(A)\).

[planches/ex9445] polytechnique MP 2023 On considère dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) les matrices \(J=\pmatrix{0 & -I_n \cr I_n & 0}\) et \(I=\pmatrix{I_n & 0 \cr0 & I_n}\).

1. Soit \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) tel que \(K^2=-I\). Montrer que \(K^TJ\in\mathscr{S}_{2n}(\mathbf{R})\) si et seulement si \(J=K^TJK\).

2. On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) telles que \(K^2=-I\) et \(K^TJ\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

   Soit \(K\in\mathscr{C}\). Montrer que \(K+J\) est inversible et que \((K+J)^{-1}(K-J)\) est symétrique.

3. Soit \(K\in\mathscr{C}\). On pose \(S=(K+J)^{-1}(K-J)\). Montrer que \(SJ+JS=0\).

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).