Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5946] centrale MP 2007

1. Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).

2. Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.

[oraux/ex8136] polytechnique, ens cachan PSI 2015

1. 1. Montrer que toute matrice symétrique définie positive est le carré d’une matrice symétrique définie positive.

   2. Montrer que toute matrice \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) peut s’écrire \(A=OS\) avec une matrice \(O\) orthogonale et une matrice \(S\) symétrique définie positive.

2. Soient \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(d\in[[1,n]]\). Pour tout \((x_1,\ldots,x_d)\in E^d\), on pose \(m(x_1,\ldots,x_d)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}(x_1,\ldots,x_d)|\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est libre, où \(\mathscr{B}\) est une base orthonormale du sous-espace \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x_1,\ldots,x_d)\), et \(m(x_1,\ldots,x_d)=0\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est liée.

   On note \(X_d=\left\{\vphantom{|_|}\smash{f\in\mathscr{L}(E),\ \forall(x_1,\ldots,x_d)\in E^d,\ m(f(x_1),\ldots,f(x_d))=m(x_1,\ldots,x_d)}\right\}\).

   1. Justifier la définition de \(m\).

   2. Montrer que les éléments de \(X_d\) sont des automorphismes et que \(X_d\) contient les isométries vectorielles.

   3. On suppose \(d<n\). Quels sont les endomorphismes symétriques de \(X_d\) ? En déduire que \(X_d\) est l’ensemble des isométries vectorielles.

[concours/ex2145] polytechnique M 1995 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((x,y,z)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\). On pose \[M(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccccc} x&y_1&y_2&\cdots&\cdots&y_n\\ y_1&z_1&0&\cdots&\cdots&0\\ y_2&0&z_2&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ y_{n-1}&0&\cdots&0&z_{n-1}&0\\ y_n&0&\cdots&\cdots&0&z_n \end{array}\right|.\]

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M(x,y,z)\).

2. On pose \(S=\{M(x,y,z)\ \hbox{positive}\}\), \(S_0=\{M(x,0,0)\mid x\geqslant 0\}\) et, pour \(1\leqslant i\leqslant n\), \[S_i=\{M\bigl(x,(0,\ldots,y_i,\ldots,0),(0,\ldots,z_i,\ldots,0)\bigr)\mid x\geqslant 0,\ z_i\geqslant 0,\ xz_i=y_i^2\}.\] Montrer que \(S=S_0+S_1+\cdots+S_n\).

[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

1. On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.

   1. Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).

   2. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.

2. Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).