Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[oraux/ex7849] polytechnique MP 2013 Soit \(m\in\mathbf{N}\) avec \(m\geqslant 2\). On note \(\omega_1\), … , \(\omega_m\) les racines \(m\)-ièmes de l’unuté. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que, pour tout \(z\in\mathbf{C}\) : \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(1-\omega_kz)=1\).

2. Montrer que \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(I_n-\omega_kA)=I_n\).

3. Soit \(X\in\mathbf{C}^n\) tel que \(X^*X=1\) où \(X^*={}^t\overline X\). Montrer l’existence de \(Z_1\), … , \(Z_m\) dans \(\mathbf{C}^n\) tels que \(1-X^*A^mX=\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m(Z_j^*Z_j-\omega_jZ_j^*AZ_j)\).

4. En déduire que si \(A\) vérifie \(X^*X\leqslant 1\Longrightarrow|X^*AX|\leqslant 1\), alors les puissances de \(A\) aussi.

[planches/ex8748] centrale PC 2022 On munit \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de sa norme euclidienne usuelle : \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^TM)}\). On considère \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \((S,\Omega)\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\times\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M=\Omega S\).

2. Calculer \(d(M,\mathscr{O}_n(\mathbf{R}))=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\|M-V\|\).

   Indication : Montrer que, pour \(V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\|MV\|=\|VM\|=\|M\|\).