Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8267] mines PSI 2016 Soient \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\Omega S=M\Omega\) si et seulement si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(\chi_S=\chi_M\).

[concours/ex1061] polytechnique MP 1998

Soit \(\phi\) une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie. On suppose que \(a\) est un élément de \(E\) tel que \(\phi(a,a)\neq0\). On note \(A=\mathbf{R} a\), et \(B=\{y\in E\mid\phi(a,y)=0\}\).

1. Montrer : \(E=A\oplus B\).

2. On note \(G\) l’ensemble des endomorphismes \(u\) tels que : \[\forall(x,y)\in E^2\quad\phi(u(x),u(y))=\phi(x,y)\,.\] Montrer que la symétrie par rapport à \(A\) parallèlement à \(B\) est dans \(G\).

3. Soit \(G'\) le commutant de \(G\). Montrer que, si \(v\in G'\), \(v(a)\) est de la forme \(\lambda_aa\).

4. Soit \(b\) tel que \(\phi(b,b)\neq0\). Montrer que \(\lambda_a=\lambda_b\). Qu’en déduire sur \(v\) ?

5. Déterminer \(G'\).

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).