Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2022] mines MP 2017 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(A\) antisymétrique telle que \(S+A\) soit orthogonale.

[oraux/ex8136] polytechnique, ens cachan PSI 2015

1. 1. Montrer que toute matrice symétrique définie positive est le carré d’une matrice symétrique définie positive.

   2. Montrer que toute matrice \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) peut s’écrire \(A=OS\) avec une matrice \(O\) orthogonale et une matrice \(S\) symétrique définie positive.

2. Soient \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(d\in[[1,n]]\). Pour tout \((x_1,\ldots,x_d)\in E^d\), on pose \(m(x_1,\ldots,x_d)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}(x_1,\ldots,x_d)|\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est libre, où \(\mathscr{B}\) est une base orthonormale du sous-espace \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x_1,\ldots,x_d)\), et \(m(x_1,\ldots,x_d)=0\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est liée.

   On note \(X_d=\left\{\vphantom{|_|}\smash{f\in\mathscr{L}(E),\ \forall(x_1,\ldots,x_d)\in E^d,\ m(f(x_1),\ldots,f(x_d))=m(x_1,\ldots,x_d)}\right\}\).

   1. Justifier la définition de \(m\).

   2. Montrer que les éléments de \(X_d\) sont des automorphismes et que \(X_d\) contient les isométries vectorielles.

   3. On suppose \(d<n\). Quels sont les endomorphismes symétriques de \(X_d\) ? En déduire que \(X_d\) est l’ensemble des isométries vectorielles.

[oraux/ex0823] centrale PSI 2009 Soient \(E=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\), \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(\Phi:S\in E\mapsto AS+S{}^tA\in E\).

1. Donner la matrice de \(\Phi\) dans une base de \(E\).

2. Quelle relation existe-t-il entre \(\chi_A\) et \(\chi_\Phi\) ?

3. Si \(\Phi\) est diagonalisable, la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Si \(A\) est diagonalisable, l’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).