Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.

[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]

[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).

Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).

2. Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).

3. Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).

[planches/ex6093] ens saclay, ens rennes MP 2021 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

1. Montrer que \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Montrer que pour tout \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U^*U=I_n\) et pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a \(\|UA\|=\|AU\|=\|A\|\).

3. Pour \((p,q)\in[[1,n]]^2\) tel que \(p\neq q\), pour tout \(\theta\in\mathbf{R}\), on note \(G(p,q,\theta)\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ayant les mêmes coefficients que \(I_n\) sauf éventuellement aux positions suivantes : \(G(p,q,\theta)_{p,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{q,q}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{p,q}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(G(p,q,\theta)_{q,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\). Montrer que \(\|G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\|=\|A\|\) pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

4. Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(p<q\) dans \([[1,n]]\) tels que \(a_{p,q}\neq0\). Montrer qu’il existe un unique \(\theta\in\displaystyle\left]-{\pi\over4},0\right[\cup\left]0,{\pi\over4}\right[\) tel que, pour \(B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\), on ait \(b_{p,q}=0\) et \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nb_{i,i}^2=2a_{p,q}^2+\sum\limits_{i=1}^na_{i,i}^2\).

[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.