Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).

Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).

2. Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).

3. Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).

[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).

[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]

[planches/ex6087] ens saclay, ens rennes MP 2021

1. Pour \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), montrer que : \[\left|\matrix{A&B\cr0&C}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(C),\quad\left|\matrix{A&B\cr B&A}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A-B)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+B),\quad\left|\matrix{A&-B\cr B&A}\right|\geqslant 0.\]

   Le but de l’exercice est de démontrer que, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on a \(AB=0\) si et seulement si, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\).

2. Montrer le sens direct.

3. Soient \(M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et \(N\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que, pour tout \(t\in\mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M-tN)=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(N)\neq\{0\}\).

4. En déduire que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) tels que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\), alors il existe un vecteur propre de \(A\) appartenant au noyau de \(B\).

5. Conclure.

[planches/ex8524] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(\theta\in\mathbf{R}\) et \((p,q)\in[[1,n]]\) avec \(p\neq q\), on note \(\Omega_{p,q}(\theta)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont les coefficients d’indices \((p,p)\) et \((q,q)\) valent \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), les autres coefficients diagonaux valant 1, et \([\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=-[\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=sin\theta\). Tous les autres coefficients sont nuls.

1. 1. Coder une fonction Python qui renvoie la matrice \(\Omega_{p,q}(\theta)\).

   2. Coder une fonction Python qui, pour une matrice \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), renvoie un couple \((p,q)\in[[1,n]]^2\) avec \(p<q\) tel que \(|a_{p,q}|=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_{i,j}|\).

   3. Coder une fonction Python prenant en argument \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et qui renvoie la matrice \(B=\Omega_{p,q}(\theta)^TA\Omega_{p,q}(\theta)\) où \((p,q)\) est défini comme précédemment et \(\theta\in\left[\displaystyle-{\pi\over4},{\pi\over4}\right]\) vérifie \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits(2\theta)=\displaystyle{a_{p,p}-a_{q,q}\over2a_{p,q}}\).

2. Avec les notations précédentes, montrer que \(B\) est symétrique et de même norme euclidienne canonique que \(A\).