Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).

1. Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).

2. On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).

[concours/ex3278] ens lyon M 1993 Sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on définit la norme \(\left\|A\right\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\). Soit \(\mathscr{U}_n\) l’ensemble des matrices unitaires d’ordre \(n\).

1. Montrer que, pour tout \(U\) de \(\mathscr{U}_n\) et tout \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a : \[\left\|UA\right\|=\left\|AU\right\|=\left\|A\right\|.\] On considère des matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{U}_n\) et on pose \(C=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose \(AC=CA\) et \(\left\|I-B\right\|<\sqrt2\). On veut montrer que \(AB=BA\).

2. Montrer que \(A\) et \(BAB^{-1}\) commutent.

3. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{U}_n\), des complexes \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) de module \(1\) et une permutation \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,n\}\) tels que \(U^*AU=D\) et \(U^*BAB^{-1}U=D'\) avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(D'=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_{\sigma(1)},\ldots,\lambda_{\sigma(n)})\).

4. Conclure.

[concours/ex3747] centrale M 1992 Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension finie et \(f\) une isométrie de \(E\).

1. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) est paire, alors \(f\) est une isométrie positive.

2. On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), soit \(g\) une isométrie telle que \(fg=gf\). Montrer que \(g\) est positive.

[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).

Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).

2. Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).

3. Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).

[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?