Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).

1. Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).

2. On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).

[concours/ex1353] ens paris MP 1998 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) deux matrices hermitiennes positives. Montrer qu’il existe \(T\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(T^*AT\) et \(T^*BT\) soient diagonales.

[concours/ex8869] ens paris MP 2010 Soient \(m\) un entier \(\geqslant 2\), \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients appartiennent à \(\{0,1\}\) et telle qu’il existe \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\) tel que tous les coefficients de \(A^p\) soient \(>0\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbf{Z}\) dans \(\{1,\ldots,m\}\), \(\theta\) l’application de \(F\) dans \(F\) qui à la suite \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) associe la suite \((\omega_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). On note enfin \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) appartenant à \(F\) telles que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\).

1. Vérifier que \(\theta\) est une bijection de \(F\) sur \(F\), que \(\Omega\) est non vide.

2. Pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soient \(P_n\) l’ensemble des points fixes de \(\theta^n\) appartenant à \(\Omega\), \(\pi_n\) le cardinal de \(P_n\), \(P=\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbf{N}^*}P_n\). Montrer qu’existe \(R\) dans \(\mathbf{Q}(X)\) dont 0 n’est pas pôle et \(\eta>0\) tels que, pour \(x\in\left]-\eta,\eta\right[\), on ait : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_nx^n\over n}\right)=R(x)\).

3. Pour \(\omega\) dans \(P\), soit \(p(\omega)\) le plus petit \(n\) de \(\mathbf{N}^*\) tel que \(\omega\) appartienne à \(P_n\). Enfin, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soit \(Q_n\) l’ensemble des \(\omega\) de \(P\) tels que \(p(\omega)=n\). On définit une relation \(\sim\) sur \(P\) par : \(\omega\sim\omega'\) si et seulement s’il existe \(k\) dans \(\mathbf{Z}\) tel que \(\theta^k(\omega)=\omega'\). Vérifier que c’est une relation d’équivalence sur \(P\), que \(p\) est constante sur les classes de \(\sim\). Si \(\widetilde P\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) et \(\tilde p\) la fonction déduite de \(p\) sur \(\widetilde P\), montrer, pour \(x\) réel assez près de 0, l’égalité : \(R(x)=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{u\in\widetilde P}{1\over1-x^{\tilde p(u)}}\).

[planches/ex4589] ens PC 2019 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables dans \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que \(I_2\in V\).

2. Donner un exemple de tel hyperplan \(V\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}VP\) contienne toutes les matrices diagonales.

4. Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(Q^{-1}VQ=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).

1. Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.

2. Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.

3. Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).