Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0920] centrale PSI 2010 Soit \(\mathscr{H}\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) constitué de matrices diagonalisables. On veut montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathscr{H}=P\mathscr{S}_2(\mathbf{R})P^{-1}\).

1. Montrer que \(\mathscr{H}\) contient une matrice non inversible non nulle.

2. Montrer que, par conjugaison, on peut se ramener à \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A,B,C)\) où \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{cc}1&\omega^2\\1&0\end{array}\right)\) avec \(\omega\in\mathbf{R}_+^*\).

3. En déduire le résultat.

[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.

[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.

2. Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?

[planches/ex3199] polytechnique MP 2018 Lorsque \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) on pose \(N(M)=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sous-multiplicative, invariante par la conjugaison des éléments du groupe orthogonal.

2. Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). On note \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose que \(N(B-I_3)<2\) et que \(A\) commute avec \([A,B]\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

3. Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). Montrer que \(N(I-[A,B])\leqslant 2N(I-A)\,N(I-B)\).

[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.

On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).

   Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).

2. Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.