Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0526] centrale MP 2005 Soient \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique de valeurs propres \(\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n\), \(g:[\lambda_1,\lambda_n]\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe et \(E=\{OSO^{-1},\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

1. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in E\). Montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(\lambda_1\leqslant a_{i,i}\leqslant\lambda_n\). En déduire : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\sum\limits_{i=1}^ng(a_{i,i}),\ A\in E\right\}=\sum\limits_{k=1}^ng(\lambda_k)\).

2. Soit \(u\) un endomorphisme autoadjoint d’un espace vectoriel euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une application convexe. On note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), et on pose \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\). Montrer que pour tous \(u\), \(v\) autoadjoints et \(t\) dans \([0,1]\), on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f((1-t)u+tv))\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits((1-t)f(u)+tf(v))\).

[oraux/ex8168] centrale MP 2015 (avec Python)

Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On cherche à établir l’existence de \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

1. Démontrer le résultat pour \(n=2\) et expliciter, en fonction de \(A\), une matrice \(\Omega\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

2. On pose \(A=\pmatrix{0&2\cr2&1}\). Donner, à l’aide de Python, \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) de diagonale constante.

3. Soit \(\Gamma=\{ {}^t\Omega A\Omega,\ \Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Montrer que \(\Gamma\) est compact.

4. Soit \(f:M\in\Gamma\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(i,j)\in[[1,n]]^2}|M_{i,i}-M_{j,j}|\). Montrer que \(f\) présente un minimum.

5. En déduire le résutat annoncé.

[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).

Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).

[oraux/ex4191] centrale MP 2011 (avec Maple)

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice de rotation \(O\) telle que \({}^tOAO\) ait ses coefficients diagonaux égaux. Donner avec Maple l’angle de la rotation en fonction des coefficients de \(A\).

2. Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}|A(i,i)-A(j,j)|\). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’ensemble \(\{ {}^tOAO,\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\) est compact. En déduire que \(f\) réalise son minimum sur cet ensemble.

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(f(A)\) soit non nul, et \(i\), \(j\) tels que \(f(A)=|A(i,i)-A(j,j)|\). Montrer qu’il existe \(A'\) orthogonalement semblable à \(A\) telle que \(A'(i,i)=A'(j,j)\) et telle que, pour tout \(k\) différent de \(i\) et de \(j\), on ait \(A'(k,k)=A(k,k)\) et \(|A'(k,k)-A'(i,i)|<f(A)\).

4. En déduire que, si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) dont les coefficients diagonaux sont égaux.

[oraux/ex8026] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(A=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).

3. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).