Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2469] centrale MP 2017

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On note \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) les valeurs propres de \(S\).

   On pose \(\Omega=\{PSP^{-1},\ P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\Omega\).

   1. Montrer que, pour \(k\in[[1,n]]\), \(a_{k,k}\in[\lambda_1,\lambda_n]\).

   2. Soit \(\varphi:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(a_{k,k}),\ A\in\Omega\right\}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(\lambda_k)\).

2. Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Si \(u\in\mathscr{S}(E)\) et si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)\), on note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). On pose \(f(u)=\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\).

   Soient \(v\), \(w\in\mathscr{S}(E)\) et \(t\in[0,1]\).

   Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)v+tw)\right)\leqslant(1-t)\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(v))+t\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(w))\).

[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

[oraux/ex0430] centrale 2004 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(s\) un endomorphisme symétrique de \(E\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathscr{O}(E)\}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits(E)\}\).

[oraux/ex7858] polytechnique MP 2013 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(a_1\), … , \(a_n\), \(b_1\), … , \(b_n\) des réels tels que \(a_1\geqslant a_2\geqslant\cdots\geqslant a_n\geqslant 0\) et \(b_1\geqslant b_2\geqslant\cdots\geqslant b_n\geqslant 0\).

1. Soit \(S\) l’application de \(\mathfrak{S}_n\) dans \(\mathbf{R}\) qui à \(\sigma\) associe \(S(\sigma)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_kb_{\sigma(k)}\). Déterminer le maximum et le minimum de \(S\).

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices diagonales dont les termes diagonaux sont, respectivement et dans cet ordre \(a_1\), … , \(a_n\) et \(b_1\), … , \(b_n\). Pour \(U\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(U)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AUBU^{-1})\). Déterminer le maximum de \(f\).

3. Soient \(A_1\), … , \(A_n\), \(B_1\), … , \(B_n\) des points distincts du plan. Existe-t-il une permutation \(\sigma\) de \([[1,n]]\) telle que \(\forall(i,j)\), \(i\neq j\Rightarrow[A_iB_{\sigma(i)}]\cap[A_jB_{\sigma(j)}]=\varnothing\) ?

[oraux/ex4191] centrale MP 2011 (avec Maple)

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice de rotation \(O\) telle que \({}^tOAO\) ait ses coefficients diagonaux égaux. Donner avec Maple l’angle de la rotation en fonction des coefficients de \(A\).

2. Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}|A(i,i)-A(j,j)|\). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’ensemble \(\{ {}^tOAO,\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\) est compact. En déduire que \(f\) réalise son minimum sur cet ensemble.

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(f(A)\) soit non nul, et \(i\), \(j\) tels que \(f(A)=|A(i,i)-A(j,j)|\). Montrer qu’il existe \(A'\) orthogonalement semblable à \(A\) telle que \(A'(i,i)=A'(j,j)\) et telle que, pour tout \(k\) différent de \(i\) et de \(j\), on ait \(A'(k,k)=A(k,k)\) et \(|A'(k,k)-A'(i,i)|<f(A)\).

4. En déduire que, si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) dont les coefficients diagonaux sont égaux.