Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

1. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.

2. Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

3. Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.

[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.

[examen/ex3705] mines PC 2025 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de trace nulle. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) soit de diagonale nulle.

[oraux/ex0458] centrale 2004 Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\) si et seulement s’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.

[oraux/ex0589] centrale MP 2006 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\in E\setminus\{0\}\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.