Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8523] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Pour \(k\in[[1,n]]\), on note \(A_k\) la matrice extraite de \(A\) constituée de ses \(k\) premières lignes et \(k\) premières colonnes, et on pose \(\Delta_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A_k)\).

1. 1. Écrire une fonction qui renvoie une matrice symétrique de taille \(n\), à coefficients aléatoirement choisis dans l’intervalle \([[-20,20]]\).

   2. Écrire une fonction, prenant une matrice carrée \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) en argument, et qui renvoie le couple \((\ell_1,\ell_2)\) où \(\ell_1=[\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1}]\) et \(\ell_2\) est la liste des valeurs propres de \(M\).

   3. Tester la fonction précédente sur différentes matrices symétriques. Que constate-t-on ?

   Soit \(D_p\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice diagonale dont les \(p\) premiers coefficients sont égaux à 1, et les suivants, égaux à \(-1\). On note \(\mathscr{O}_p=\{P^TD_pP,\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\).

2. Montrer que la relation \(\mathscr{R}\), définie par \(A\mathscr{R} B\) s’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=P^TBP\), est une relation d’équivalence sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

3. Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(p\in[[0,n]]\) tel que \(A\in\mathscr{O}_p\).

4. Soient \(p\), \(q\in[[0,n]]\). On suppose qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(D_p=Q^TD_qQ\) et on pose \(f:X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\longmapsto X^TD_pX\).

   1. Montrer qu’il existe deux sous-espaces vectoriels de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) tels que \(\forall X\in F\setminus\{0\}\) (resp. \(G\setminus\{0\}\)), \(f(X)>0\) (resp. \(f(X)<0\)).

   2. En déduire que \(p\leqslant q\), puis que \(p=q\).

5. Montrer que \((\mathscr{O}_p)_{0\leqslant p\leqslant n}\) est une partition de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

6. On suppose que les \(\Delta_k\) sont non nuls et qu’il existe \(Q\in\mathscr{M}_{n-1}(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure avec une diagonale de 1 telle que \(Q^TA_n^{-1}Q=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}/\Delta_{n-2})\).

   Montrer l’existence d’une matrice \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure à diagonale de 1 telle que \(P^TAP=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1})\).

[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[oraux/ex8193] ens paris MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(\mathscr{L}\) un endomorphisme de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que : \(\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}({}^tOSO)={}^tO\mathscr{L}(S)O\). Montrer qu’il existe \(\lambda\) et \(\mu\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(S)=\mu S+\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S)I_n\).

[planches/ex2978] ens paris MP 2018 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\). Pour \(r\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(E_r\) l’ensemble des matrices de rang \(r\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\Phi:M\mapsto\|A-M\|\). Montrer qu’il existe une matrice \(A_r\) minimisant \(\Phi\) sur \(E_r\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Delta\) diagonale telles que \(A=O\Delta O'\).

[examen/ex1090] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Si \(G\) est un groupe, on note \(Z(G)\) son centre.

On pose \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})=\{A\in\mathcal M_n(\mathbf{C})\,,\, A^*A=I_n\}\) où \(A^*=\overline{A}^T\), l’ensemble des matrices unitaires.

1. Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\) et que \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne, c’est-à-dire telle que \(A^*=A\). Démontrer qu’il existe \(P\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) soit diagonale.

3. Démontrer que toute matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) s’écrit comme combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

4. Déterminer \(Z\left(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\right)\).

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex7574] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\).

1. Justifier que \(AA^T\) est diagonalisable à valeurs propres positives.

   On note \(\sigma_1\geqslant\cdots\geqslant\sigma_r>0\) ses valeurs propres non nulles (avec multiplicité), et \(S(A)=(\sqrt{\sigma_1},\ldots,\sqrt{\sigma_r})\).

2. Comparer \(S(A)\) à \(S(A^T)\).

3. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(V\) dans \(\mathscr{O}_p(\mathbf{R})\) telles que \(U^TAV=R=\pmatrix{D&0\cr0&0}\), avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\), où \(S(A)=(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\).

4. On considère \(A^*=VR^*U^T\), avec \(R^*=\pmatrix{D^{-1}&0\cr0&0}\in\mathscr{M}_{p,n}(\mathbf{R})\). Interpréter géométriquement les matrices \(AA^*\) et \(A^*A\), en commençant par examiner le cas particulier où \(A\) est inversible.