[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).
[concours/ex6245]
Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.
Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).
Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.
[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).
[oraux/ex5292]
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).
On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.
[concours/ex3008] polytechnique M 1993 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\). Montrer qu’il existe \(U\) orthogonale telle que \(U^{-1}AU\) ait ses termes diagonaux nuls.
[concours/ex3008]
[oraux/ex0458] centrale 2004 Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\) si et seulement s’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.
[oraux/ex0458]
[oraux/ex8262] mines PSI 2016 Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) symétrique tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).
[oraux/ex8262]
Montrer qu’il existe \(x\) non nul dans \(E\) tel que \(\langle x,u(x)\rangle=0\).
Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.
[oraux/ex0589] centrale MP 2006 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).
[oraux/ex0589]
Montrer qu’il existe \(x\in E\setminus\{0\}\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).
Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.
[concours/ex1738] polytechnique PC 1999 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(Q\) telle que \(Q^{-1}MQ\) ait le même nombre \(\lambda\) sur toute la diagonale.
[concours/ex1738]
[planches/ex6215] escp S 2021 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \((E,\langle \,\ \rangle\)) un espace euclidien de dimension \(n\). On note \(\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n)\) une base orthonormale de \(E\). Soit \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est une matrice \(A\).
[planches/ex6215]
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et on se propose de montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice associée à \(u\) a tous ses termes diagonaux nuls.
On suppose dans cette question que \(n=2\).
On suppose que \(A\) n’est pas inversible. Montrer le résultat demandé.
On suppose que \(A\) est inversible.
Montrer qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}'=(v_1,v_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) et un réel \(\alpha\) pour lesquels la matrice de \(u\) dans la base \(\mathcal{B}'\) est \(A'= \left(\begin{array}{cc} \alpha &0\\ 0&-\alpha\end{array}\right)\).
On pose \(w_1=v_1+v_2\) et \(w_2=v_1-v_2\). Calculer \(u(w_1)\) et \(u(w_2)\) et en déduire le résultat demandé.
On revient au cas général où \(n\) est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.
Montrer qu’il existe deux indices \(i\) et \(j\) de \([[1,n]]\), \(i\neq j\), tels que : \[\langle e_i,u(e_i)\rangle\times \langle e_j,u(e_j)\rangle \leqslant 0\]
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \([0,1]\) par : \[\forall t\in[0,1],\quad\varphi(t)=\langle u(te_i+(1-t)e_j),te_i+(1-t)e_j\rangle,\] Montrer, en utilisant cette fonction, qu’il existe un vecteur \(x\) non nul tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).
Montrer qu’il existe une base orthonormale de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est de la forme : \(\left(\begin{array}{cc|cc} 0& &\ast & \\ \hline \ast & & & \\ \vdots & & C & \\ \ast & & & \end{array}\right)\), où \(C\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{n-1}(\mathbf{R})\).
En déduire, par récurrence, la propriété énoncée au début de l’exercice.
[oraux/ex0504] mines MP 2005 Montrer, si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), l’existence de \(O\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tAA=OA{}^tAO^{-1}\).
[oraux/ex0504]
[oraux/ex0849] tpe PC 2009 Soient \(A\), \(N\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex0849]
Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont diagonalisables.
Montrer que \(MN\) et \(NM\) ont les mêmes valeurs propres et que les espaces propres associés à une valeur propre \(\lambda\neq0\) ont même dimension.
Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. En déduire qu’il existe \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tAA={}^tUA{}^tAU\).
[oraux/ex0594] centrale MP 2006 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont semblables.
[oraux/ex0594]
[planches/ex3463] mines MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[planches/ex3463]
Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) sont semblables.
[planches/ex1704] polytechnique MP 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que \(\lambda I_n-{}^tAA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) si et seulement si \(\lambda I_n-A{}^tA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\).
[planches/ex1704]
[planches/ex7997] mines MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est antisymétrique si et seulement si \(P^{-1}AP\) a une diagonale nulle pour toute matrice \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).
[planches/ex7997]
[oraux/ex8082] centrale PC 2014 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\) de trace nulle.
[oraux/ex8082]
On suppose \(u\) symétrique.
Montrer qu’il existe \(x\neq0\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).
Montrer, par récurrence, qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.
On ne suppose plus \(u\) symétrique. Montrer que ce dernier résultat est encore vrai.
[concours/ex6500] polytechnique PC 2006 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[concours/ex6500]
Montrer qu’il existe une unique matrice \(T\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), positive telle que \(T^2={}^tMM\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\).
On dit que \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une isométrie partielle s’il existe un sous-espace \(E\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que : \(\forall x\in E\), \(\|U(x)\|=\|x\|\) et que : \(\forall x\in E^\perp\), \(U(x)=0\).
Montrer qu’il existe une isométrie partielle \(U\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(M=UT\).
Montrer qu’il existe une et une seule isométrie partielle \(V\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits V=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M\) et \(M=VT\).
[oraux/ex3613] polytechnique MP 2011 Soient \(Q\) une forme quadratique positive sur \(\mathbf{R}^n\) et \(B\) la forme bilinéaire symétrique polaire. Soit \((a_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\) une famille de vecteurs telle que, pour tout \(i\neq j\), \(B(a_i,a_j)<0\).
[oraux/ex3613]
Soit \((c_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\in\mathbf{R}^p\) tel que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pc_ia_i\right)=0\). Montrer que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^p|c_i|a_i\right)=0\).
On suppose maintenant que \((a_i)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\). Montrer qu’alors le noyau de \(B\) est de dimension 1 ou 0.
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\neq j\), \(a_{i,j}<0\). Que peut-on dire de la multiplicité de la plus petite valeurs propre de \(A\) ?
[examen/ex3166] mines MP 2025
[examen/ex3166]
Définir la fonction indicatrice d’Euler puis exprimer \(\varphi(n)\) en fonction de la décomposition primaire de \(n\in\mathbf{N}^*\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(n=\displaystyle\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\).
En déduire le déterminant de la matrice \((i\wedge j)_{0\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_{n+1}(\mathbf{R})\).
[oraux/ex7899] mines PSI 2013
[oraux/ex7899]
Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\lambda\in\mathbf{R}_+,\ \forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\ (\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tAA)}\right\}\).
Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\lambda\in\mathbf{R}_+,\ \forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tAA)}\right\}\).
Peut-on généraliser à \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) les résultats précédents ?
[oraux/ex0820] centrale MP 2009 (avec Maple)
[oraux/ex0820]
Maple
On note \(\varphi\) l’indicatrice d’Euler, et on définit trois matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) par : \([G_n]_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(i,j)\) ; \([A_n]_{i,j}=1\) si \(i\mid j\) et 0 sinon ; \(F_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\varphi(1),\ldots,\varphi(n))\). On note \(D_n\) l’ensemble des diviseurs de \(n\).
Soit \(f:\{1,\ldots,n\}\rightarrow D_n\) définie par : \(\forall k\), \(f(k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(n,k)\). Montrer que tout \(d\in D_n\) admet exactement \(\varphi(n/d)\) antécédents par \(f\). En déduire que \(\sum\limits_{d\in D_n}\varphi(d)=n\).
Définir sous Maple les matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\), et vérifier que \(G_n={}^tA_nF_nA_n\).
Démontrer l’égalité précédente, et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(G_n)\).
Déterminer une matrice \(B_n\) triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs telle que \(G_n={}^tB_nB_n\). Qu’en conclure ?
[planches/ex5219] mines PC 2019 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(\chi_A=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(X-a_{k,k})\). Montrer que \(A\) est diagonale.
[planches/ex5219]
[planches/ex6889] mines PSI 2021
[planches/ex6889]
Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]
Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]
Généraliser ces résultats à \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Pour le second point, on comparera \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|^{2/n}\) à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T)\).
[planches/ex9682] mines MP 2023 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits((i\wedge j)_{1\leqslant i,j\leqslant n})\).
[planches/ex9682]
Indication : On rappelle que, pour \(N\in\mathbf{N}^*\), \(N=\displaystyle\sum\limits_{d|N}\varphi(d)\) où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler.
[planches/ex2019] mines MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[planches/ex2019]
Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ (\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).
Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R},\ \forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A|^{2/n}\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits{}^tAA\}\).
[concours/ex0926] centrale MP 1997
[concours/ex0926]
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{\lambda\in\mathbf{R}_+\mid\forall M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\quad\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M\right)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\}\).
[ev.bilin/ex0075] Vrai ou faux ?
[ev.bilin/ex0075]
Toute matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé dans \(\mathbf{R}[X]\) est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire.
[planches/ex3926] centrale PSI 2018 Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est orthotrigonalisable s’il existe \(P\in\mathscr{O}(n)\) et \(T\) triangulaire telles que \(M={}^tPDP\). On veut déterminer l’ensemble des matrices orthotrigonalisables.
[planches/ex3926]
Déterminer les matrices orthotrigonalisables de la forme \(\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).
Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que si le polynôme caractéristique de \(M\) est scindé dans \(\mathbf{R}\), alors \(M\) est orthotrigonalisable. Conclure.
[oraux/ex3853] mines MP 2011 Montrer que si \(u\) est un endomorphisme trigonalisable d’un espace euclidien alors il existe une base orthonormée trigonalisant \(u\).
[oraux/ex3853]
[oraux/ex0779] mines MP 2009 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f\in\mathscr{L}(E)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est triangulaire supérieure.
[oraux/ex0779]
[planches/ex1458] ens paris MP 2017
[planches/ex1458]
Un endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidien \(E\) est-il diagonalisable en base orthonormée ?
Même question pour un endomorphisme trigonalisable.
[planches/ex5394] centrale PSI 2019
[planches/ex5394]
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.
Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?
[planches/ex2028] mines MP 2017 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Quel est le minimum de la fonction \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\) ?
[planches/ex2028]
[planches/ex9785] mines MP 2023 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(a_{1,1}\), … , \(a_{n,n}\) sont les valeurs propres de \(A\) prises avec multiplicité. Montrer que \(A\) est diagonale.
[planches/ex9785]
[oraux/ex8167] centrale MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[oraux/ex8167]
Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Montrer qu’il existe un unique couple \((A,S)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que : \(M=A+S\), \({}^tA=-A\), \({}^tS=S\).
Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(A\) et \(S\) commutent.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tA=-A\). On suppose que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \((a_1,\ldots,a_p)\in(\mathbf{R}_+^*)^p\) tels que \(A=PDP^{-1}\) où \(D\) est une matrice diagonale par blocs avec des blocs \(D_1\), … , \(D_p\), où \(D_i=\pmatrix{0&-a_i\cr a_i&0}\).
Énoncer et prouver un théorème de réduction pour les matrices normales de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), c’est-à-dire les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M{}^tM={}^tMM\).
[planches/ex5347] centrale MP 2019 Soit \((E,(\ |\ ))\) un espace euclidien ; soit \(u\in\mathscr{L}(E)\).
[planches/ex5347]
Montrer qu’il existe un unique \(v\in\mathscr{L}(E)\) tel que : \(\forall(x,y)\in E^2\), \((u(x)|y)=(x|v(y))\). On le notera \(u^*\).
Montrer que tout endomorphisme trigonalisable de \(E\) est trigonalisable en base orthonormée.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(u^*\in\mathbf{R}[u]\). Que peut-on dire si \(u^*\not\in\mathbf{R}[u]\) ?
[examen/ex4305] centrale MP 2025 (avec Python)
[examen/ex4305]
Python
On considère que deux matrices sont égales si leurs coefficients diffèrent de moins de \(\varepsilon=10^{-12}\).
Écrire une fonction Python test_orthogonal(A) qui vérifie si la matrice \(A\) est orthogonale. La tester pour \(M=\frac{1}{9}\pmatrix{7&-4&4\cr4&8&1\cr4&-1&-8}\).
test_orthogonal(A)
Un endomorphisme d’un espace euclidien est normal s’il commute avec son adjoint.
Écrire une fonction Python test_normal(A) qui vérifie si une matrice \(A\) est normale. Vérifier que \(M\) est normale.
test_normal(A)
Écrire une fonction Python genere_ mat_normale(n) qui génère aléatoirement une matrice normale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients dans \([\![-9,9]\!]\), qui ne soit ni symétrique ni antisymétrique. Afficher le nombre de tours de boucle.
genere_ mat_normale(n)
Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\).
Montrer que, si un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est stable par \(u\), son orthogonal est stable par \(u^*\).
On suppose que \(u\) est normal. Montrer que, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)\), l’orthogonal de l’espace propre \(E_\lambda(u)\) est stable par \(u\).
On veut montrer que si \(u\) est normal, il existe une base \(B\) orthogonale dans laquelle \(u\) a une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2, les blocs de taille 2 étant de la forme \(\pmatrix{a&b\cr-b&a}\) avec \(b\neq0\).
On procède par récurrence sur la dimension de l’espace \(E\), et on remarque que c’est vrai en dimension 1.
Supposons le résultat acquis jusqu’en dimension \(n\) et soit \(u\) un endomorphisme normal d’un espace euclidien \(E\) de dimension \(n+1\).
Supposons que \(u\) a une valeur propre réelle. Conclure en utilisant l’hypothèse de récurrence sur un endomorphisme d’un espace de dimension strictement inférieure.
On suppose maintenant que \(u\) n’a aucune valeur propre réelle.
Soit \(Q\) un facteur irréductible de \(\pi_u\). Quel est le degré de \(Q\) ?
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits Q(u)\neq\{0\}\).
Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) une matrice normale sans valeur propre réelle.
Montrer l’existence de \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) avec \(b\neq0\) tels que \(M=\pmatrix{a&b\cr-b&a}\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits Q(u)\) est stable par \(u\) et \(u^*\).
Conclure.
[examen/ex1627] mines MP 2024 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^TA=A^TA\). Montrer que si \(F\) est un sous-espace de \(\mathbf{R}^n\) stable par \(A\) alors \(F^\perp\) est stable par \(A^T\). On suppose \(n=3\). Montrer que \(A\) est soit diagonalisable, soit semblable à une matrice de la forme \(\pmatrix{\lambda&0&0\cr0&\alpha&\beta\cr0&-\beta&\alpha}\) avec \(\beta\neq0\).
[examen/ex1627]
[planches/ex2024] mines MP 2017 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[planches/ex2024]
Montrer que \(M\) s’écrit de façon unique sous la forme \(S+A\), avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Montrer que \(M\) et \({}^tM\) commutent si et seulement si \(S\) et \(A\) commutent.
On suppose dans cette question que \(A\) est inversible. Montrer que \(n\) est pair et qu’il existe \(\alpha_1\), … , \(\alpha_p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(A=P^{-1}BP\) avec \(B=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(B_1,\ldots,B_p)\) et \(B_i=\pmatrix{0&-\alpha_i\cr\alpha_i&0}\).
On suppose que \(M{}^tM={}^tMM\). Montrer qu’existent des réels \(\lambda_1\), … , \(\lambda_r\), \(\alpha_1\), … , \(\alpha_s\), des réels strictement positifs \(\beta_1\), … , \(\beta_s\) et \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(M=P^{-1}CP\) avec : \[C=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(C_1,\ldots,C_s,\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\quad\hbox{et}\quad C_i=\pmatrix{\alpha_i&-\beta_i\cr\beta_i&\alpha_i}.\]
[planches/ex3206] polytechnique MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On pose \(A^*={}^t\overline A\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :
[planches/ex3206]
\(AA^*=A^*A\) ;
il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(UU^*=I_n\) et \(UAU^*\) diagonale ;
\(A^*\) est un polynôme en \(A\).
[oraux/ex0427] polytechnique 2004 Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des matrices normales, c’est-à-dire des matrices complexes \(M\) telles que \(MM^*=M^*M\).
[oraux/ex0427]
Montrer que \(M\) est dans \(\mathscr{H}\) si et seulement si existent deux matrices hermitiennes \(H\) et \(K\) commutant entre elles et telles que \(M=H+iK\).
Montrer qu’une matrice normale est diagonalisable.
Montrer que, si \(M\) est normale, il existe \(P\in\mathbf{C}[X]\) tel que \(M^*=P(M)\).
Vérifier que \(\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Soit \(C\) une matrice complexe et \(A\), \(B\) des matrices normales telles que \(AC=CB\). Montrer que \(C^*A=BC^*\).
[planches/ex2469] centrale MP 2017
[planches/ex2469]
Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On note \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) les valeurs propres de \(S\).
On pose \(\Omega=\{PSP^{-1},\ P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\Omega\).
Montrer que, pour \(k\in[[1,n]]\), \(a_{k,k}\in[\lambda_1,\lambda_n]\).
Soit \(\varphi:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(a_{k,k}),\ A\in\Omega\right\}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(\lambda_k)\).
Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Si \(u\in\mathscr{S}(E)\) et si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)\), on note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). On pose \(f(u)=\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\).
Soient \(v\), \(w\in\mathscr{S}(E)\) et \(t\in[0,1]\).
Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)v+tw)\right)\leqslant(1-t)\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(v))+t\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(w))\).
[oraux/ex0817] centrale MP 2009 (avec Maple)
[oraux/ex0817]
On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifie la propriété \(\mathscr{P}\) si et seulement si le polynôme caractéristique de \(M\) est égal à \(\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n(X-m_{i,,i})\).
Trouver les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(\mathscr{P}\).
Si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), comparer la somme des carrés des termes diagonaux de \(M\) et la somme des carrés des valeurs propres de \(M\) comptées avec multiplicités. En déduire les matrices symétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).
Trouver les matrices antisymétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).
[oraux/ex3513] ens cachan MP 2011
[oraux/ex3513]
Soit \(A\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\). Montrer qu’on a, pour \(x\) réel au voisinage de 0 : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA))=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)x^n.\]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_p(\mathbf{R})\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
\(AB=0\) ;
\(\forall(x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA+yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+yB)\).
Le résultat est-il encore vrai si \(A\) et \(B\) ne sont plus symétriques réelles ?
[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).
[oraux/ex0431]
Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).
[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).
[examen/ex3271]
Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).
[oraux/ex4191] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex4191]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice de rotation \(O\) telle que \({}^tOAO\) ait ses coefficients diagonaux égaux. Donner avec Maple l’angle de la rotation en fonction des coefficients de \(A\).
Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}|A(i,i)-A(j,j)|\). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’ensemble \(\{ {}^tOAO,\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\) est compact. En déduire que \(f\) réalise son minimum sur cet ensemble.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(f(A)\) soit non nul, et \(i\), \(j\) tels que \(f(A)=|A(i,i)-A(j,j)|\). Montrer qu’il existe \(A'\) orthogonalement semblable à \(A\) telle que \(A'(i,i)=A'(j,j)\) et telle que, pour tout \(k\) différent de \(i\) et de \(j\), on ait \(A'(k,k)=A(k,k)\) et \(|A'(k,k)-A'(i,i)|<f(A)\).
En déduire que, si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) dont les coefficients diagonaux sont égaux.
[oraux/ex8168] centrale MP 2015 (avec Python)
[oraux/ex8168]
Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On cherche à établir l’existence de \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.
Démontrer le résultat pour \(n=2\) et expliciter, en fonction de \(A\), une matrice \(\Omega\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.
On pose \(A=\pmatrix{0&2\cr2&1}\). Donner, à l’aide de Python, \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) de diagonale constante.
Soit \(\Gamma=\{ {}^t\Omega A\Omega,\ \Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Montrer que \(\Gamma\) est compact.
Soit \(f:M\in\Gamma\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(i,j)\in[[1,n]]^2}|M_{i,i}-M_{j,j}|\). Montrer que \(f\) présente un minimum.
En déduire le résutat annoncé.
[oraux/ex0430] centrale 2004 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(s\) un endomorphisme symétrique de \(E\).
[oraux/ex0430]
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathscr{O}(E)\}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits(E)\}\).
[oraux/ex8026] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex8026]
Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(A=OS\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).
[oraux/ex7858] polytechnique MP 2013 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(a_1\), … , \(a_n\), \(b_1\), … , \(b_n\) des réels tels que \(a_1\geqslant a_2\geqslant\cdots\geqslant a_n\geqslant 0\) et \(b_1\geqslant b_2\geqslant\cdots\geqslant b_n\geqslant 0\).
[oraux/ex7858]
Soit \(S\) l’application de \(\mathfrak{S}_n\) dans \(\mathbf{R}\) qui à \(\sigma\) associe \(S(\sigma)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_kb_{\sigma(k)}\). Déterminer le maximum et le minimum de \(S\).
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices diagonales dont les termes diagonaux sont, respectivement et dans cet ordre \(a_1\), … , \(a_n\) et \(b_1\), … , \(b_n\). Pour \(U\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(U)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AUBU^{-1})\). Déterminer le maximum de \(f\).
Soient \(A_1\), … , \(A_n\), \(B_1\), … , \(B_n\) des points distincts du plan. Existe-t-il une permutation \(\sigma\) de \([[1,n]]\) telle que \(\forall(i,j)\), \(i\neq j\Rightarrow[A_iB_{\sigma(i)}]\cap[A_jB_{\sigma(j)}]=\varnothing\) ?
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