Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1628] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times S_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM)\).

[oraux/ex8168] centrale MP 2015 (avec Python)

Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On cherche à établir l’existence de \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

1. Démontrer le résultat pour \(n=2\) et expliciter, en fonction de \(A\), une matrice \(\Omega\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.

2. On pose \(A=\pmatrix{0&2\cr2&1}\). Donner, à l’aide de Python, \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) de diagonale constante.

3. Soit \(\Gamma=\{ {}^t\Omega A\Omega,\ \Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Montrer que \(\Gamma\) est compact.

4. Soit \(f:M\in\Gamma\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(i,j)\in[[1,n]]^2}|M_{i,i}-M_{j,j}|\). Montrer que \(f\) présente un minimum.

5. En déduire le résutat annoncé.

[oraux/ex3513] ens cachan MP 2011

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\). Montrer qu’on a, pour \(x\) réel au voisinage de 0 : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA))=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)x^n.\]

2. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_p(\mathbf{R})\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(AB=0\) ;

   2. \(\forall(x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA+yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+yB)\).

   Le résultat est-il encore vrai si \(A\) et \(B\) ne sont plus symétriques réelles ?

[oraux/ex0817] centrale MP 2009 (avec Maple)

On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifie la propriété \(\mathscr{P}\) si et seulement si le polynôme caractéristique de \(M\) est égal à \(\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n(X-m_{i,,i})\).

1. Trouver les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(\mathscr{P}\).

2. Si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), comparer la somme des carrés des termes diagonaux de \(M\) et la somme des carrés des valeurs propres de \(M\) comptées avec multiplicités. En déduire les matrices symétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

3. Trouver les matrices antisymétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).

Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).