Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).

[oraux/ex0430] centrale 2004 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(s\) un endomorphisme symétrique de \(E\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathscr{O}(E)\}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits(E)\}\).

[oraux/ex0817] centrale MP 2009 (avec Maple)

On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifie la propriété \(\mathscr{P}\) si et seulement si le polynôme caractéristique de \(M\) est égal à \(\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n(X-m_{i,,i})\).

1. Trouver les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(\mathscr{P}\).

2. Si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), comparer la somme des carrés des termes diagonaux de \(M\) et la somme des carrés des valeurs propres de \(M\) comptées avec multiplicités. En déduire les matrices symétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

3. Trouver les matrices antisymétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).

[oraux/ex8026] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(A=OS\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).

3. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).

[planches/ex2469] centrale MP 2017

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On note \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) les valeurs propres de \(S\).

   On pose \(\Omega=\{PSP^{-1},\ P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\Omega\).

   1. Montrer que, pour \(k\in[[1,n]]\), \(a_{k,k}\in[\lambda_1,\lambda_n]\).

   2. Soit \(\varphi:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(a_{k,k}),\ A\in\Omega\right\}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\varphi(\lambda_k)\).

2. Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe. Si \(u\in\mathscr{S}(E)\) et si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)\), on note \(p_{\lambda,u}\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). On pose \(f(u)=\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\).

   Soient \(v\), \(w\in\mathscr{S}(E)\) et \(t\in[0,1]\).

   Montrer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)v+tw)\right)\leqslant(1-t)\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(v))+t\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(f(w))\).