Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0594] centrale MP 2006 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont semblables.

[planches/ex1704] polytechnique MP 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que \(\lambda I_n-{}^tAA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) si et seulement si \(\lambda I_n-A{}^tA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\).

[planches/ex3463] mines MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) ont le même polynôme caractéristique.

2. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) sont semblables.

[examen/ex2074] mines PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\). Montrer que \(M\) est antisymétrique si et seulement si pour toute \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbb{R})\), la matrice \(P^{-1}MP\) est à diagonale nulle.

[oraux/ex8082] centrale PC 2014 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\) de trace nulle.

1. On suppose \(u\) symétrique.

   1. Montrer qu’il existe \(x\neq0\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

   2. Montrer, par récurrence, qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.

2. On ne suppose plus \(u\) symétrique. Montrer que ce dernier résultat est encore vrai.