Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7801] ens cachan MP 2008 Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-1&0&\cdots&0&-1\\ -1&2&-1&0&&0\\ 0&-1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&0&\cdots&0&-1&2\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est une matrice symétrique positive mais pas strictement positive.

2. Soit \(f\in C^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\), 1-périodique. On pose \(F_n={}^t\left(\vphantom{|_|}f(1/n),f(2/n),\ldots,f(n/n)\right)\). On pose \(N(X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|x_k|,\ 1\leqslant k\leqslant n\}\) lorsque \(X={}^t(x_1,\ldots,x_n)\).

   On suppose que \(N(n^2MF_n+F_n)\rightarrow0\). Que dire de \(f\) ?

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]

[examen/ex1083] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024

1. Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) à coefficients strictement positifs. Montrer qu’il existe un vecteur propre de \(A\) dont tous les coefficients sont \(>0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) à coefficients \(>0\). Montrer que \(A\) possède un vecteur propre à coefficients \(>0\).

3. Soient \(a_1\), … , \(a_n\in\mathbf{N}^*\), \(M_i=\pmatrix{a_i& 1\cr1&0}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Montrer que \(M_1\times \cdots\times M_n\) est à spectre inclus dans \(\mathbf{R}\setminus \mathbf{Q}\).

[oraux/ex6649] ens lyon MP 2013 On fixe \(p\) un nombre premier impair. On admet que le groupe multiplicatif \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) est cyclique. On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des fonctions de \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) dans \(\mathbf{C}\). On munit \(E\) du produit hermitien défini par \((f,g)\mapsto\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\overline{f(x)}g(x)\). On choisit un générateur \(y\) de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\). Pour \(j\) dans \(\{0,\ldots,p-2\}\), on définit \(\chi_j\in E\) par \(\chi_j(0)=0\) et \(\chi_j(y^s)=e^{i\textstyle{2\pi js\over p-1}}\) pour tout \(s\in\{0,\ldots,p-2\}\).

1. Montrer que \(\chi_j\) induit un morphisme de groupes de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) dans \(\mathbf{C}^*\).

2. Pour \(j\in\{0,\ldots,p-2\}\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\chi_j(x)\).

3. Que vaut \(\chi_j(-1)\) ?

4. On note \(e_0\) l’élément de \(E\) défini par \(x\mapsto\delta_{x,0}\). Trouver un complexe \(\lambda\) tel que : \((e_0,\lambda\chi_0,\lambda\chi_2,\ldots,\lambda\chi_{p-2})\) soit une base orthonormée de \(E\).

5. On fixe un générateur \(\zeta\) du groupe des racines \(p\)-ièmes de l’unité. On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\) représenté dans la base canonique par la matrice \((\zeta^{(i-1)(j-1)})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Calculer \(\Phi^2\), déterminer ses éléments propres. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits\Phi\).