Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

1. On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.

   1. Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).

   2. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.

2. Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

[examen/ex1323] polytechnique MP 2024 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(H_n=\{M\in \mathscr{M}_n(\{-1,1\})\;;\; M^TM=nI_n\}\).

1. Déterminer \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\).

2. Soit \(n\geqslant 4\) tel que \(H_n\neq \varnothing\). Montrer que \(4\) divise \(n\).

3. À l’aide de \(A\in{H}_n\), construire une matrice \(B\in{H}_{2n}\).

4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\equiv 3\, [4]\). Montrer que \(H_{p+1}\) n’est pas vide.

[oraux/ex0388] mines 2003 Soient \(H_n=\left\{\vphantom{|_|}A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ {}^tAA=nI_n\hbox{ et }\forall i,j,\ a_{i,j}\in\{-1,1\}\right\}\), \[\widetilde U=\left(\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}\right)\quad\hbox{et} \quad\widetilde V=\sum\limits_{k=1}^nV_k,\] où les \(V_k\) sont les colonnes de \(A\).

1. On note \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   Calculer \(\langle V_{k_1},V_{k_2}\rangle={}^tV_{k_1}V_{k_2}\), \(\|\widetilde V\|^2\) et \(\|\widetilde U\|^2\). En déduire l’existence de \(\xi\) tel que \(\|\widetilde V\|\times\|\widetilde U\|=n^\xi\).

2. Soit : \[\begin{array}{rcl}\phi:\mathscr{M}_n(\mathbf{R})&\longrightarrow\mathbf{R}\\ A&\longmapsto&\sum\limits_{i,j}a_{i,j}.\end{array}\] Montrer que \(|\phi(A)|\leqslant n^\xi\).

3. Montrer que, si \(n\) n’est pas un carré, que l’on n’a jamais égalité.

4. Dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\), trouver \(A\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=-4\) et \(\phi(A)=4^\xi\).

5. Montrer que pour tout \(A\) de \(h_n\) il existe \(\Delta\) et \(\Delta'\) diagonales à coefficients diagonaux dans \(\{-1,1\}\) telles que \(B=\Delta A\Delta'\) soit de la forme : \[\left(\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\ 1&*&\cdots&*\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&*&\cdots&*\end{array}\right).\]

[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.