Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8157] mines PC 2015 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{O}(E)\). Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\) une valeur propre de \(u\). Montrer que la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le polynôme caractéristique.

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[concours/ex1956] centrale MP 1999 Soit \(M\) une matrice carrée réelle d’ordre deux de déterminant \(1\) et de trace strictement comprise entre \(-2\) et \(2\). Montrer qu’il existe une matrice \(U\) de déterminant \(1\) et une matrice \(R\) orthogonale directe telle que \(U^{-1}MU=R\).

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).

Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]

1. Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).

2. Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).