Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0633] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien. Si \(v\in E\setminus\{0\}\), soit \(\varphi_v:x\in E\mapsto2\displaystyle{\langle v,x\rangle\over\langle u,v\rangle}\) et \(I_v=\{w\in E,\ \varphi_v(w)\in\mathbf{Z}\}\).

1. Déterminer \(I_v\).

2. Deux vecteurs non colinéaires \(v\) et \(w\) sont dits en position radicielle si \(v\in I_w\) et \(w\in I_v\). Montrer que l’ensemble des vecteurs en position radicielle avec \(v\) est stable par toute transformation orthogonale dont \(v\) est vecteurs propre. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2\) cet ensemble est la réunion de \(v^\perp\setminus\{0\}\) et d’un ensemble fini à préciser. Généraliser en dimension quelconque.

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]