Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3740] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).

[oraux/ex5300] mines MP 2012 Soit \(A=(a_{i,j})\in {\cal S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\in\{1,\nobreak\ldots\unskip\nobreak ,n\}\), \(a_{i,i}=1\) et \(\sum\limits_{j=1}^n|a_{i,j}|\leqslant 2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\in[0,1]\).

[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).

[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.

[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?