Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9445] polytechnique MP 2023 On considère dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) les matrices \(J=\pmatrix{0 & -I_n \cr I_n & 0}\) et \(I=\pmatrix{I_n & 0 \cr0 & I_n}\).

1. Soit \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) tel que \(K^2=-I\). Montrer que \(K^TJ\in\mathscr{S}_{2n}(\mathbf{R})\) si et seulement si \(J=K^TJK\).

2. On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des \(K\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) telles que \(K^2=-I\) et \(K^TJ\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

   Soit \(K\in\mathscr{C}\). Montrer que \(K+J\) est inversible et que \((K+J)^{-1}(K-J)\) est symétrique.

3. Soit \(K\in\mathscr{C}\). On pose \(S=(K+J)^{-1}(K-J)\). Montrer que \(SJ+JS=0\).

[oraux/ex0490] polytechnique PC 2005 Soient \(u\) un vecteur unitaire de l’espace euclidien \(\mathbf{R}^n\) et \(P_u\) le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(u)\).

1. Montrer que \(P_u\) est symétrique positif et que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(P_u)=1\).

2. Soit \(A\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AP_u)\).

3. Soient \(A\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=1\) et \(x\in\mathbf{R}^n\) unitaire. Montrer que \(\langle x,Ax\rangle\in[0,1]\).

4. Soient \(A\), \(B\in\mathscr{S}^+(\mathbf{R}^n)\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B=1\), et \(c\in\left]0,1\right[\) tel que \(P_u=cA+(1-c)B\). Montrer que \(A=B=P_u\).

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex3511] ens lyon MP 2011

1. Déterminer les couples \((A,B)\) de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})^2\) tels que l’application \(t\mapsto e^{tA}-e^{tB}\) soit bornée sur \(\mathbf{R}\).

2. Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(H=\{P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{t\in\mathbf{R}}\|Pe^{tA}-e^{tA}\|<{+\infty}\}\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) ; trouver la forme de ses éléments.

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[examen/ex1220] ens PC 2024 Soit \(n\in\mathbf{N}\) et \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En notant \((s_1,\ldots ,s_n)\) les valeurs propres de \(M\), on pose \(N_p(M) = \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n |s_i|^p\right)^{1/p}\).

1. Montrer que \((A,B)\mapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). En déduire que \(N_2\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

2. Montrer que \(N_1(M) = \mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits (MO)|,\; O\in \mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). En déduire que \(N_1\) est une norme sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex2978] ens paris MP 2018 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\). Pour \(r\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(E_r\) l’ensemble des matrices de rang \(r\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\Phi:M\mapsto\|A-M\|\). Montrer qu’il existe une matrice \(A_r\) minimisant \(\Phi\) sur \(E_r\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Delta\) diagonale telles que \(A=O\Delta O'\).

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[planches/ex2022] mines MP 2017 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(A\) antisymétrique telle que \(S+A\) soit orthogonale.

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[concours/ex1875] ens paris MP 1999 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \[\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\quad a_{i,j}\geqslant 0,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}=1,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}=1.\] Soient \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) tels que \(0\leqslant x_n\leqslant x_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant x_1\) et \(0\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant y_1\). Montrer que \({}^tXAY\leqslant{}^tXY\).

Indication : on pourra introduire les suites \((a_i)\) et \((b_i)\) telles que \(x_n=a_n\), \(x_{n-1}=a_n+a_{n-1}\), … , \(x_1=a_n+\cdots+a_1\) et \(y_n=b_n\), \(y_{n-1}=b_n+b_{n-1}\), … , \(y_1=b_n+\cdots+b_1\).

[oraux/ex5581] centrale MP 2012 On note \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) l’ensemble des matrices réelles symétriques de taille \(n\) à coefficients positifs.

1. Une matrice de \({\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\) peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ? Que des valeurs propres strictement négatives ?

2. Soient \(A\in {\cal S}_n(\mathbf{R}^+)\), \(\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres, \((X_1,\ldots ,X_n)\) une base orthonormée telle que \(\forall i\in\{1,\ldots ,n\}\,\;A\,X_i=\lambda_i\,X_i\).

   Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on pose \(B(\alpha)=\left( \begin{array}{c|c} A&\alpha\,X_n\\ \hline \alpha\,{}^t\; X_n&0 \end{array}\right)\).

   1. Montrer que \(\lambda_1\),…, \(\lambda_{n-1}\) sont des valeurs propres de \(B(\alpha)\).

   2. On note \(\beta\) et \(\gamma\) les deux autres valeurs propres de \(B(\alpha)\). Exprimer \(\beta+\gamma\) et \(\beta\,\gamma\) en fonction de \(\lambda_n\) et \(\alpha\).

   3. Trouver \(A\in {\cal S}_2(\mathbf{R}^+)\) de valeurs propres \(-1\) et \(2\), et \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(B(\alpha)\) ait pour valeurs propres \(-1\), \(-2\) et \(4\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.

2. Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?

4. Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).

5. Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.

[planches/ex8748] centrale PC 2022 On munit \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de sa norme euclidienne usuelle : \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^TM)}\). On considère \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \((S,\Omega)\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\times\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M=\Omega S\).

2. Calculer \(d(M,\mathscr{O}_n(\mathbf{R}))=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\|M-V\|\).

   Indication : Montrer que, pour \(V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\|MV\|=\|VM\|=\|M\|\).

[concours/ex0028] polytechnique MP 1996 Soit \(S=(a_{ij})\) une matrice symétrique réelle dont tous les mineurs principaux sont non nuls. Montrer qu’il existe une matrice \(T\) triangulaire supérieure avec des \(1\) sur la diagonale et une matrice diagonale \(\Delta\) telle que \(S={}^tT\Delta T\) et calculer les termes de \(\Delta\).

Indication : traiter le cas d’une matrice \((2,2)\) puis le cas général.

[concours/ex3317] centrale M 1993 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). On considère \(n\) vecteurs \(u_1\), … , \(u_n\) de \(E\) et on note \(G\) la matrice \(\left((u_i\mid u_j)\right)\). Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes :

1. il existe un projecteur orthogonal \(p\) et une base orthonormale \((e_i)\) tels que \(p(e_i)=u_i\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,n\}\) ;

2. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits G\subset\{0,1\}\).

[examen/ex1090] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Si \(G\) est un groupe, on note \(Z(G)\) son centre.

On pose \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})=\{A\in\mathcal M_n(\mathbf{C})\,,\, A^*A=I_n\}\) où \(A^*=\overline{A}^T\), l’ensemble des matrices unitaires.

1. Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\) et que \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne, c’est-à-dire telle que \(A^*=A\). Démontrer qu’il existe \(P\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) soit diagonale.

3. Démontrer que toute matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) s’écrit comme combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

4. Déterminer \(Z\left(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\right)\).

[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

1. On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.

   1. Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).

   2. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.

2. Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0633] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien. Si \(v\in E\setminus\{0\}\), soit \(\varphi_v:x\in E\mapsto2\displaystyle{\langle v,x\rangle\over\langle u,v\rangle}\) et \(I_v=\{w\in E,\ \varphi_v(w)\in\mathbf{Z}\}\).

1. Déterminer \(I_v\).

2. Deux vecteurs non colinéaires \(v\) et \(w\) sont dits en position radicielle si \(v\in I_w\) et \(w\in I_v\). Montrer que l’ensemble des vecteurs en position radicielle avec \(v\) est stable par toute transformation orthogonale dont \(v\) est vecteurs propre. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2\) cet ensemble est la réunion de \(v^\perp\setminus\{0\}\) et d’un ensemble fini à préciser. Généraliser en dimension quelconque.