[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.
[oraux/ex8295]
On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.
Conclure.
[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).
[planches/ex5069]
[examen/ex1088] ens lyon MP 2024 Soient \(X\) un ensemble et \(K:X\times X\to \mathbb{R}\). On suppose que, pour tous \(n\geqslant 1\) et \(x_1\), … , \(x_n\in X\), \((K(x_i,x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Pour \(x\in X\), on note \(K_x:y\mapsto K(x,y)\). Soit \(E\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{X}\) engendré par les fonctions \((K_x)_{x\in X}\).
[examen/ex1088]
Soit \(a\), \(b\in E\). Par définition de \(E\), il existe \((\lambda_x)_{x\in X}\) et \((\mu_x)_{x\in X}\) dans \(\mathbb{R}^X\) n’admettant qu’un nombre fini de coefficients non nuls tels que \(a=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xK_x\) et \(b=\displaystyle\sum\limits_{x\in X}^{}\mu_xK_x,\) et on pose \[\langle a,b\rangle=\sum\limits_{x,y\in X}^{}\lambda_x\mu_yK(x,y).\]
Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur \(E\).
Montrer qu’il existe \(f:X\to E\) telle que \(\forall x\), \(y\in X\), \(K(x,y)=\langle f(x), f(y) \rangle\).
[concours/ex7801] ens cachan MP 2008 Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-1&0&\cdots&0&-1\\ -1&2&-1&0&&0\\ 0&-1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&0&\cdots&0&-1&2\end{array}\right)\).
[concours/ex7801]
Montrer que \(M\) est une matrice symétrique positive mais pas strictement positive.
Soit \(f\in C^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\), 1-périodique. On pose \(F_n={}^t\left(\vphantom{|_|}f(1/n),f(2/n),\ldots,f(n/n)\right)\). On pose \(N(X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|x_k|,\ 1\leqslant k\leqslant n\}\) lorsque \(X={}^t(x_1,\ldots,x_n)\).
On suppose que \(N(n^2MF_n+F_n)\rightarrow0\). Que dire de \(f\) ?
[oraux/ex8218] polytechnique MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de déterminant 1.
[oraux/ex8218]
Notant \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique sur \(\mathbf{R}^n\), montrer qu’il existe \(u\in\mathbf{R}^n\) tel que \(\|u\|=\|Au\|=1\).
Établir l’existence de \(\Omega\) et \(\Omega'\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et de \(T\) triangulaire supérieure dont la diagonale ne comporte que des 1 telles que \(A=\Omega T\Omega'\).
[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.
[examen/ex2729]
[concours/ex0351] ens lyon MP 1996 Soit \(A\in\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{Z})\) antisymétrique de déterminant non nul. Montrer qu’il existe une matrice \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{2n}(\mathbf{Z})\) et des entiers uniques \(d_1\), … , \(d_n\) tels que \(d_i\mid d_{i+1}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\) et \[{}^tPAP=\pmatrix{ &&&d_1&&0\cr &0&&&\ddots\cr &&&0&&d_n\cr -d_1&&0\cr &\ddots&&&0\cr 0&&-d_n}\]
[concours/ex0351]
[examen/ex0195] mines PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice trigonalisable.
[examen/ex0195]
Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(\Omega\) et une matrice triangulaire supérieure \(B\) telles que \(A=\Omega B\Omega^T\).
On suppose que \(AA^T=A^TA\). Montrer que \(A\) est diagonalisable.
La réciproque de la question précédente est-elle vraie ?
[concours/ex5946] centrale MP 2007
[concours/ex5946]
Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).
Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.
[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).
[planches/ex7573]
Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.
Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.
[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).
[oraux/ex0483]
Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).
Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]
[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.
[oraux/ex8003]
[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex0909]
On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.
Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).
En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.
Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).
[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).
[planches/ex9198]
Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.
Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).
Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?
Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).
Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.
[examen/ex1083] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024
[examen/ex1083]
Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) à coefficients strictement positifs. Montrer qu’il existe un vecteur propre de \(A\) dont tous les coefficients sont \(>0\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) à coefficients \(>0\). Montrer que \(A\) possède un vecteur propre à coefficients \(>0\).
Soient \(a_1\), … , \(a_n\in\mathbf{N}^*\), \(M_i=\pmatrix{a_i& 1\cr1&0}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Montrer que \(M_1\times \cdots\times M_n\) est à spectre inclus dans \(\mathbf{R}\setminus \mathbf{Q}\).
[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.
[oraux/ex0753]
[concours/ex1956] centrale MP 1999 Soit \(M\) une matrice carrée réelle d’ordre deux de déterminant \(1\) et de trace strictement comprise entre \(-2\) et \(2\). Montrer qu’il existe une matrice \(U\) de déterminant \(1\) et une matrice \(R\) orthogonale directe telle que \(U^{-1}MU=R\).
[concours/ex1956]
[concours/ex1875] ens paris MP 1999 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \[\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\quad a_{i,j}\geqslant 0,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}=1,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}=1.\] Soient \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) tels que \(0\leqslant x_n\leqslant x_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant x_1\) et \(0\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant y_1\). Montrer que \({}^tXAY\leqslant{}^tXY\).
[concours/ex1875]
Indication : on pourra introduire les suites \((a_i)\) et \((b_i)\) telles que \(x_n=a_n\), \(x_{n-1}=a_n+a_{n-1}\), … , \(x_1=a_n+\cdots+a_1\) et \(y_n=b_n\), \(y_{n-1}=b_n+b_{n-1}\), … , \(y_1=b_n+\cdots+b_1\).
[concours/ex2430] ens paris M 1995 Soit \(G=O_2(\mathbf{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Soit \(F\in\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\). Si \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) sont dans \(\mathbf{R}^2\), on note \(F(x,y)=F(x_1,x_2,y_1,y_2)\). On fait agir \(G\) sur \(\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\) par \(gF(x,y)=F(gx,gy)\). On suppose enfin que, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(gF=F\).
[concours/ex2430]
Soit \(K(a,b,c)=F(a,0,b,c)\). Montrer que \(K\) est un polynôme en \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(ab\).
Montrer qu’il existe \(N\in\mathbf{R}[u,v,w]\) et \(\alpha\in\mathbf{N}\) tels que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\) : \[F(x,y)={N\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\over(x|x)^\alpha}.\]
Soit \(R\in\mathbf{R}[u,v,w]\) tel que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\), on ait : \[R\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)=0.\] Montrer que \(R=0\).
En déduire que \(F\) est de la forme \(H\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\) où \(H\in\mathbf{R}[u,v,w]\).
[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.
[planches/ex1710]
Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.
Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).
Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).
Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).
Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).
Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
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