Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0633] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien. Si \(v\in E\setminus\{0\}\), soit \(\varphi_v:x\in E\mapsto2\displaystyle{\langle v,x\rangle\over\langle u,v\rangle}\) et \(I_v=\{w\in E,\ \varphi_v(w)\in\mathbf{Z}\}\).

1. Déterminer \(I_v\).

2. Deux vecteurs non colinéaires \(v\) et \(w\) sont dits en position radicielle si \(v\in I_w\) et \(w\in I_v\). Montrer que l’ensemble des vecteurs en position radicielle avec \(v\) est stable par toute transformation orthogonale dont \(v\) est vecteurs propre. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2\) cet ensemble est la réunion de \(v^\perp\setminus\{0\}\) et d’un ensemble fini à préciser. Généraliser en dimension quelconque.

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[examen/ex4282] ccinp PC 2025 Soit \(n\geqslant 2\). Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) est diagonale (resp. triangulaire supérieure). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est orthodiagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.

2. Montrer que \(A\) est orthodiagonalisable si et seulement si \(A\) est symétrique.

3. Donner un exemple de matrice de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) diagonalisable et non symétrique.

4. Soit \(M\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) inversible. On note \((u_1,\dots,u_n)\) le système de ses vecteurs colonnes. On munit \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) de son produit scalaire usuel.

   1. Montrer qu’il existe une base orthonormée \((v_1,\ldots,v_n)\) telle que \[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad u_j=\sum\limits_{i=1}^j\langle u_j,v_i\rangle v_i.\]

   2. Montrer qu’il existe \(Q\) orthogonale et \(R\) triangulaire supérieure telles que \(M=QR\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\). Montrer que \(A\) est orthotrigonalisable si et seulement si \(A\) est trigonalisable.

6. Que dire d’une matrice antisymétrique et trigonalisable ?

[planches/ex2022] mines MP 2017 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(A\) antisymétrique telle que \(S+A\) soit orthogonale.

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).

[examen/ex0195] mines PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice trigonalisable.

1. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(\Omega\) et une matrice triangulaire supérieure \(B\) telles que \(A=\Omega B\Omega^T\).

2. On suppose que \(AA^T=A^TA\). Montrer que \(A\) est diagonalisable.

3. La réciproque de la question précédente est-elle vraie ?

[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

[examen/ex1224] ens PC 2024

1. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Montrer que les assertions sont équivalentes :

   1. \(S\) admet \(k\) valeurs propres positives (comptées avec multiplicité),

   2. il existe des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits F=k\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits G=n-k\) et \(\forall X\in F\), \(X^{T}SX\geqslant 0\) et \(\forall Y\in G\), \(Y^{T}SY\leqslant 0\).

2. Soit \(S\in \mathscr{S}_{n}(\mathbb{R)}\) inversible. Soit \(P\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_{n}(\mathbb{R)}\). Montrer que \(P^{T}SP\) et \(S\) ont le même nombre de valeurs propres positives.

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).

1. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.

2. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[planches/ex7568] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et \(k\in\mathbf{N}^*\).

Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((AB)^{2^k}\right)\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A^2B^2)^{2^{k-1}}\right)\).

[planches/ex8754] centrale PC 2022 Pour \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), on note \(O_S=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\ :\ M^TSM=S\}\). On pose \(E=\displaystyle\mathop{\bigcap}\limits_{S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})}O_S\).

1. Montrer que \(O_S\) est borné dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) pour tout \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Qu’en déduire sur \(E\) ?

2. Montrer que \(PMP^{-1}\in E\) pour tout \(M\in E\) et tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

3. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\{PMP^{-1},\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\) soit bornée.

4. En déduire que \(E=\{I_n,-I_n\}\).

[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.

1. On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.

2. Conclure.

[oraux/ex8025] polytechnique MP 2014 On munit \(\mathbf{C}^n\) de sa norme hermitienne canonique. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{C}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}.\]

[examen/ex1323] polytechnique MP 2024 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(H_n=\{M\in \mathscr{M}_n(\{-1,1\})\;;\; M^TM=nI_n\}\).

1. Déterminer \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\).

2. Soit \(n\geqslant 4\) tel que \(H_n\neq \varnothing\). Montrer que \(4\) divise \(n\).

3. À l’aide de \(A\in{H}_n\), construire une matrice \(B\in{H}_{2n}\).

4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\equiv 3\, [4]\). Montrer que \(H_{p+1}\) n’est pas vide.

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[examen/ex2720] ens paris MP 2025 Soit \(H=(H_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). On suppose que, pour tous \(i\neq j\), \(H_{i,j}\leqslant 0\). Si \((i,j)\in[\![1,n]\!]^2\), on dit que \(i\) et \(j\) sont connectés s’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\), \(k_1,\ldots,k_m\in[\![1,n]\!]\) tels que \(k_1=i\), \(k_m=j\) et, pour tout \(\ell\in[\![1,m-1]\!]\), \(H_{k_\ell,k_{\ell+1}}\neq0\).

Montrer que \(i\) et \(j\) sont connectés si et seulement si \(H^{-1}_{i,j}>0\), où \(H^{-1}_{i,j}\) est le coefficient d’indice \((i,j)\) de \(H^{-1}\).