Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).

1. Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).

2. Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).

3. reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).

4. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).

[planches/ex8523] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Pour \(k\in[[1,n]]\), on note \(A_k\) la matrice extraite de \(A\) constituée de ses \(k\) premières lignes et \(k\) premières colonnes, et on pose \(\Delta_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A_k)\).

1. 1. Écrire une fonction qui renvoie une matrice symétrique de taille \(n\), à coefficients aléatoirement choisis dans l’intervalle \([[-20,20]]\).

   2. Écrire une fonction, prenant une matrice carrée \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) en argument, et qui renvoie le couple \((\ell_1,\ell_2)\) où \(\ell_1=[\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1}]\) et \(\ell_2\) est la liste des valeurs propres de \(M\).

   3. Tester la fonction précédente sur différentes matrices symétriques. Que constate-t-on ?

   Soit \(D_p\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice diagonale dont les \(p\) premiers coefficients sont égaux à 1, et les suivants, égaux à \(-1\). On note \(\mathscr{O}_p=\{P^TD_pP,\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\).

2. Montrer que la relation \(\mathscr{R}\), définie par \(A\mathscr{R} B\) s’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=P^TBP\), est une relation d’équivalence sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

3. Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(p\in[[0,n]]\) tel que \(A\in\mathscr{O}_p\).

4. Soient \(p\), \(q\in[[0,n]]\). On suppose qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(D_p=Q^TD_qQ\) et on pose \(f:X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\longmapsto X^TD_pX\).

   1. Montrer qu’il existe deux sous-espaces vectoriels de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) tels que \(\forall X\in F\setminus\{0\}\) (resp. \(G\setminus\{0\}\)), \(f(X)>0\) (resp. \(f(X)<0\)).

   2. En déduire que \(p\leqslant q\), puis que \(p=q\).

5. Montrer que \((\mathscr{O}_p)_{0\leqslant p\leqslant n}\) est une partition de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

6. On suppose que les \(\Delta_k\) sont non nuls et qu’il existe \(Q\in\mathscr{M}_{n-1}(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure avec une diagonale de 1 telle que \(Q^TA_n^{-1}Q=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}/\Delta_{n-2})\).

   Montrer l’existence d’une matrice \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure à diagonale de 1 telle que \(P^TAP=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1})\).

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[planches/ex1462] ens paris MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A+B)^k=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^k)+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B^k)\). Montrer \(AB=0\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[oraux/ex8165] centrale MP 2015

1. Soit \(G\) un groupe fini et \(g\in G\). Montrer que \(x\mapsto xg\) est une bijection de \(G\) dans lui-même.

2. Soit \(U\) une partie de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) irréductible, c’est-à-dire telle que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{C}^n\) stables par tous les éléments de \(U\) soient \(\{0\}\) et \(\mathbf{C}^n\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall A\in U\), \(\exists B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(MA=BM\). Montrer que \(M\) est nulle ou inversible.

3. Soient \(G\) un groupe fini, \(\phi_1\) et \(\phi_2\) deux morphismes de groupes de \(G\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que \(\phi_1(G)\) et \(\phi_2(G)\) soient irréductibles. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Appliquer ce qui précède à \(P=\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\phi_2(g)^{-1}M\phi_1(g)\). Que dire de \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_2(g)^{-1})\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(\phi_1(g))\) ?

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[oraux/ex7849] polytechnique MP 2013 Soit \(m\in\mathbf{N}\) avec \(m\geqslant 2\). On note \(\omega_1\), … , \(\omega_m\) les racines \(m\)-ièmes de l’unuté. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que, pour tout \(z\in\mathbf{C}\) : \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(1-\omega_kz)=1\).

2. Montrer que \(\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m\mathop{\prod}\limits_{k\neq j}(I_n-\omega_kA)=I_n\).

3. Soit \(X\in\mathbf{C}^n\) tel que \(X^*X=1\) où \(X^*={}^t\overline X\). Montrer l’existence de \(Z_1\), … , \(Z_m\) dans \(\mathbf{C}^n\) tels que \(1-X^*A^mX=\displaystyle{1\over m}\sum\limits_{j=1}^m(Z_j^*Z_j-\omega_jZ_j^*AZ_j)\).

4. En déduire que si \(A\) vérifie \(X^*X\leqslant 1\Longrightarrow|X^*AX|\leqslant 1\), alors les puissances de \(A\) aussi.

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[oraux/ex8218] polytechnique MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de déterminant 1.

1. Notant \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique sur \(\mathbf{R}^n\), montrer qu’il existe \(u\in\mathbf{R}^n\) tel que \(\|u\|=\|Au\|=1\).

2. Établir l’existence de \(\Omega\) et \(\Omega'\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et de \(T\) triangulaire supérieure dont la diagonale ne comporte que des 1 telles que \(A=\Omega T\Omega'\).

[planches/ex8748] centrale PC 2022 On munit \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de sa norme euclidienne usuelle : \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^TM)}\). On considère \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \((S,\Omega)\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\times\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M=\Omega S\).

2. Calculer \(d(M,\mathscr{O}_n(\mathbf{R}))=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\|M-V\|\).

   Indication : Montrer que, pour \(V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\|MV\|=\|VM\|=\|M\|\).

[examen/ex1323] polytechnique MP 2024 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(H_n=\{M\in \mathscr{M}_n(\{-1,1\})\;;\; M^TM=nI_n\}\).

1. Déterminer \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\).

2. Soit \(n\geqslant 4\) tel que \(H_n\neq \varnothing\). Montrer que \(4\) divise \(n\).

3. À l’aide de \(A\in{H}_n\), construire une matrice \(B\in{H}_{2n}\).

4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\equiv 3\, [4]\). Montrer que \(H_{p+1}\) n’est pas vide.

[examen/ex2719] ens paris MP 2025 Déterminer l’ensemble des symétries linéaires sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) qui fixent un hyperplan et stabilisent l’ensemble \(\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).

1. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.

2. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.

[oraux/ex8136] polytechnique, ens cachan PSI 2015

1. 1. Montrer que toute matrice symétrique définie positive est le carré d’une matrice symétrique définie positive.

   2. Montrer que toute matrice \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) peut s’écrire \(A=OS\) avec une matrice \(O\) orthogonale et une matrice \(S\) symétrique définie positive.

2. Soient \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(d\in[[1,n]]\). Pour tout \((x_1,\ldots,x_d)\in E^d\), on pose \(m(x_1,\ldots,x_d)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}(x_1,\ldots,x_d)|\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est libre, où \(\mathscr{B}\) est une base orthonormale du sous-espace \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x_1,\ldots,x_d)\), et \(m(x_1,\ldots,x_d)=0\) si \((x_1,\ldots,x_d)\) est liée.

   On note \(X_d=\left\{\vphantom{|_|}\smash{f\in\mathscr{L}(E),\ \forall(x_1,\ldots,x_d)\in E^d,\ m(f(x_1),\ldots,f(x_d))=m(x_1,\ldots,x_d)}\right\}\).

   1. Justifier la définition de \(m\).

   2. Montrer que les éléments de \(X_d\) sont des automorphismes et que \(X_d\) contient les isométries vectorielles.

   3. On suppose \(d<n\). Quels sont les endomorphismes symétriques de \(X_d\) ? En déduire que \(X_d\) est l’ensemble des isométries vectorielles.

[planches/ex7568] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et \(k\in\mathbf{N}^*\).

Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((AB)^{2^k}\right)\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A^2B^2)^{2^{k-1}}\right)\).

[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.

[oraux/ex8295] centrale PSI 2016 Soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice antisymétrique \(V\) telle que \(U+V\) soit orthogonale.

1. On suppose que \(U\) convient. Montrer que \(UV=VU\) et \(I_n=U^2-V^2\). Montrer que si \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\) alors \(\lambda\in[-1,1]\) et si \(\lambda\in\left]-1,1\right[\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est de dimension paire.

2. Conclure.