Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1875] ens paris MP 1999 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \[\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\quad a_{i,j}\geqslant 0,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}=1,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}=1.\] Soient \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) tels que \(0\leqslant x_n\leqslant x_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant x_1\) et \(0\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant y_1\). Montrer que \({}^tXAY\leqslant{}^tXY\).

Indication : on pourra introduire les suites \((a_i)\) et \((b_i)\) telles que \(x_n=a_n\), \(x_{n-1}=a_n+a_{n-1}\), … , \(x_1=a_n+\cdots+a_1\) et \(y_n=b_n\), \(y_{n-1}=b_n+b_{n-1}\), … , \(y_1=b_n+\cdots+b_1\).

[examen/ex1633] mines MP 2024 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) avec \(\lambda_i>0\) pour tout \(i\) telles que \(P^TM^TMP=D^2\).

2. On note \(V_1\), … , \(V_n\) les colonnes de \(MP\).

   Soit \(Q\) la matrice dont les colonnes sont \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_1}V_1\), … , \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_n}V_n\). Montrer que \(Q\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

3. Montrer qu’il existe \(O\), \(O'\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M=ODO'\).

4. Montrer le même résultat si \(M\) est non inversible.

[examen/ex0195] mines PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice trigonalisable.

1. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(\Omega\) et une matrice triangulaire supérieure \(B\) telles que \(A=\Omega B\Omega^T\).

2. On suppose que \(AA^T=A^TA\). Montrer que \(A\) est diagonalisable.

3. La réciproque de la question précédente est-elle vraie ?

[concours/ex7801] ens cachan MP 2008 Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-1&0&\cdots&0&-1\\ -1&2&-1&0&&0\\ 0&-1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&0&\cdots&0&-1&2\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est une matrice symétrique positive mais pas strictement positive.

2. Soit \(f\in C^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\), 1-périodique. On pose \(F_n={}^t\left(\vphantom{|_|}f(1/n),f(2/n),\ldots,f(n/n)\right)\). On pose \(N(X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|x_k|,\ 1\leqslant k\leqslant n\}\) lorsque \(X={}^t(x_1,\ldots,x_n)\).

   On suppose que \(N(n^2MF_n+F_n)\rightarrow0\). Que dire de \(f\) ?

[examen/ex3257] mines MP 2025 Soient \(n\), \(m\in\mathbf{N}^*\), \(S\in\mathscr{S}_m(\mathbf{R})\). On pose \(A=\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(n,\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\pi_S))\), où l’on a noté \(\pi_S\) le polynôme minimal de \(S\).

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).

[oraux/ex8218] polytechnique MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de déterminant 1.

1. Notant \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique sur \(\mathbf{R}^n\), montrer qu’il existe \(u\in\mathbf{R}^n\) tel que \(\|u\|=\|Au\|=1\).

2. Établir l’existence de \(\Omega\) et \(\Omega'\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et de \(T\) triangulaire supérieure dont la diagonale ne comporte que des 1 telles que \(A=\Omega T\Omega'\).

[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[oraux/ex0909] centrale MP 2010 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche une condition nécessaire et suffisante sur \(U\) pour qu’il existe \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\) soit dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

1. On suppose dans cette question qu’une telle matrice \(V\) existe.

   1. Montrer que \(UV=VU\) et que \(U^2-V^2=I_n\).

   2. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(U\) est dans \([-1,1]\) et que, si \(|\lambda|<1\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\right)\) est paire.

2. Réciproquement, soit \(U\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\subset[-1,1]\) et que, pour tout \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(U)\cap\left]-1,1\right[\), la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(U-\lambda I_n)\) est paire. Établir l’existence de \(V\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U+V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex7569] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(X_0\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}\). Pour \(k\in\mathbf{N}\), on pose \(V_k:=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A^iX0)_{0\leqslant i\leqslant k}\).

1. Montrer qu’il existe \(k_0\in\mathbf{N}\) tel que \(\forall k\in[[0,k_0]]\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits V_k=k+1\) et \(\forall k>k_0\), \(V_k=V_{k_0}\).

2. On définit par récurrence \((v_i)_{0\leqslant i\leqslant k_0}\) par \(v_0=\displaystyle{1\over\|X_0\|}X0\), \(\widetilde v_j:=Av_{j-1}-\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{j-1}\langle Av_{j-1},v_i\rangle v_i\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), \(v_j=\displaystyle{1\over\|\widetilde v_j\|}\widetilde v_j\). Montrer que cette famille est bien définie et est une base orthonormale de \(V_{k_0}\).

3. Montrer que \(\widetilde v_j-Av_{j-1}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(v_{j-1},v_{j-2})\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), où \(v_{-1}:=0\).

4. On définit la matrice \(T\in\mathscr{S}_{k_0+1}(\mathbf{R})\) par \(t_{i,i}=\langle Av_i,v_i\rangle\), \(t_{i,i+1}=t_{i+1,i}=\|\widetilde v_{i+1}\|\) et \(t_{i,j}=0\) pour tout couple \((i,j)\in[[0,k0]]^2\) tel que \(|i-j|>1\). Montrer que \(T\) a le même spectre que l’endomorphisme induit par \(X\longmapsto AX\) sur \(V_{k_0}\).

[planches/ex5862] polytechnique MP 2020 Soient \(n\) et \(p\) deux éléments de \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n\geqslant p\), \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\) et \[S=\pmatrix{A&B\cr B^T&0}.\] Montrer que \(S\) est inversible si et seulement s’il existe \(C\in\mathscr{M}_{n,n-p}(\mathbf{R})\) de rang \(n-p\) telle que \(C^TB=0\) et \(C^TAC\) soit inversible.

[planches/ex1462] ens paris MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A+B)^k=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^k)+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B^k)\). Montrer \(AB=0\).

[concours/ex2430] ens paris M 1995 Soit \(G=O_2(\mathbf{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Soit \(F\in\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\). Si \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) sont dans \(\mathbf{R}^2\), on note \(F(x,y)=F(x_1,x_2,y_1,y_2)\). On fait agir \(G\) sur \(\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\) par \(gF(x,y)=F(gx,gy)\). On suppose enfin que, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(gF=F\).

1. Soit \(K(a,b,c)=F(a,0,b,c)\). Montrer que \(K\) est un polynôme en \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(ab\).

2. Montrer qu’il existe \(N\in\mathbf{R}[u,v,w]\) et \(\alpha\in\mathbf{N}\) tels que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\) : \[F(x,y)={N\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\over(x|x)^\alpha}.\]

3. Soit \(R\in\mathbf{R}[u,v,w]\) tel que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\), on ait : \[R\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)=0.\] Montrer que \(R=0\).

4. En déduire que \(F\) est de la forme \(H\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\) où \(H\in\mathbf{R}[u,v,w]\).

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[planches/ex1710] polytechnique MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on appelle espace associé de \(S\) le sous-espace engendré par les sous-espaces propres de \(S\) associés à des valeurs propres non nulles.

1. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’on peut écrire \(S=S^+-S^-\) où \(S^+\) et \(S^-\) sont dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et où les espaces associés de \(S^+\) et \(S^-\) sont orthogonaux.

2. Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe un unique \(C\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) tel que \(C^2=S^2\). On note \(C=|S|\).

3. Montrer que si \(S=S^+-S^-\) est une décomposition de \(S\) comme en 1), alors \(|S|=S^++S^-\).

   Soit \(E_n=\{M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=1\}\). Pour \((S,T)\in E_n^2\), soit \(d(S,T)=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(|T-S|)\).

4. Indiquer la forme des éléments de \(E_2\). Calculer \(d(S,T)\) pour \(S\) et \(T\) dans \(E_2\).

5. Montrer, pour \(S\) et \(T\) dans \(E_n\), \(d(S,T)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(R(T-S)),\ R\in P_n\}\) où \(P_n\) désigne l’ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex8754] centrale PC 2022 Pour \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\), on note \(O_S=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\ :\ M^TSM=S\}\). On pose \(E=\displaystyle\mathop{\bigcap}\limits_{S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})}O_S\).

1. Montrer que \(O_S\) est borné dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) pour tout \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Qu’en déduire sur \(E\) ?

2. Montrer que \(PMP^{-1}\in E\) pour tout \(M\in E\) et tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

3. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\{PMP^{-1},\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\) soit bornée.

4. En déduire que \(E=\{I_n,-I_n\}\).

[planches/ex5863] polytechnique MP 2020 Soient \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) telles que \(M=P^{-1}DP\). Pour \(j\in\{1,\ldots,n\}\), on note \(M_j\) la sous-matrice de \(M\) obtenue en retirant les \(j\)-èmes ligne et colonne, et \(\lambda_1(M_j)\), … , \(\lambda_{n-1}(M_j)\) ses valeurs propres.

Montrer que pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \[p_{i,j}^2\mathop{\prod}\limits_{k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}}(\lambda_j-\lambda_k)=\mathop{\prod}\limits_{\ell=1}^{n-1}(\lambda_j-\lambda_\ell(M_i)).\]