[concours/ex3278] ens lyon M 1993 Sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on définit la norme \(\left\|A\right\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\). Soit \(\mathscr{U}_n\) l’ensemble des matrices unitaires d’ordre \(n\).
[concours/ex3278]
Montrer que, pour tout \(U\) de \(\mathscr{U}_n\) et tout \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a : \[\left\|UA\right\|=\left\|AU\right\|=\left\|A\right\|.\] On considère des matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{U}_n\) et on pose \(C=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose \(AC=CA\) et \(\left\|I-B\right\|<\sqrt2\). On veut montrer que \(AB=BA\).
Montrer que \(A\) et \(BAB^{-1}\) commutent.
Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{U}_n\), des complexes \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) de module \(1\) et une permutation \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,n\}\) tels que \(U^*AU=D\) et \(U^*BAB^{-1}U=D'\) avec \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) et \(D'=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\lambda_{\sigma(1)},\ldots,\lambda_{\sigma(n)})\).
Conclure.
[examen/ex3558] mines PSI 2025 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables sur \(\mathbf{R}\).
[examen/ex3558]
Donner un exemple de tel hyperplan.
Soit \(F=\left\{\pmatrix{a&b\cr-b&a}\right\}_{(a,b)\in\mathbf{R}^2}\). Montrer que \(F\cap V\neq\{0\}\) et en déduire que \(I_2\in V\).
On munit \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de \(V^\perp\) ?
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(QVQ^{-1}=S_2(\mathbf{R})\).
[planches/ex8524] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8524]
Python
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(\theta\in\mathbf{R}\) et \((p,q)\in[[1,n]]\) avec \(p\neq q\), on note \(\Omega_{p,q}(\theta)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont les coefficients d’indices \((p,p)\) et \((q,q)\) valent \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), les autres coefficients diagonaux valant 1, et \([\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=-[\Omega_{p,q}(\theta)]_{p,q}=sin\theta\). Tous les autres coefficients sont nuls.
Coder une fonction Python qui renvoie la matrice \(\Omega_{p,q}(\theta)\).
Coder une fonction Python qui, pour une matrice \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), renvoie un couple \((p,q)\in[[1,n]]^2\) avec \(p<q\) tel que \(|a_{p,q}|=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_{i,j}|\).
Coder une fonction Python prenant en argument \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), et qui renvoie la matrice \(B=\Omega_{p,q}(\theta)^TA\Omega_{p,q}(\theta)\) où \((p,q)\) est défini comme précédemment et \(\theta\in\left[\displaystyle-{\pi\over4},{\pi\over4}\right]\) vérifie \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits(2\theta)=\displaystyle{a_{p,p}-a_{q,q}\over2a_{p,q}}\).
Avec les notations précédentes, montrer que \(B\) est symétrique et de même norme euclidienne canonique que \(A\).
[planches/ex3198] polytechnique MP 2018 Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\in\mathbf{R}\). Déterminer le lieu \(L\) dans \(\mathbf{R}^2\) de la diagonale des matrices de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) c’est-à-dire : \[L=\left\{\vphantom{|_|}(S_{1,1},S_{2,2}),\ S\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\hbox{ et }\chi_S=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\right\}.\]
[planches/ex3198]
[oraux/ex5300] mines MP 2012 Soit \(A=(a_{i,j})\in {\cal S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\in\{1,\nobreak\ldots\unskip\nobreak ,n\}\), \(a_{i,i}=1\) et \(\sum\limits_{j=1}^n|a_{i,j}|\leqslant 2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\in[0,1]\).
[oraux/ex5300]
[oraux/ex0739] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009
[oraux/ex0739]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et \(P^{-1}AP\) soit diagonale.
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|\neq2\) et \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits B=1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits B|\neq2\). On suppose de plus que \(A\) et \(B\) n’ont pas de vecteur propre commun. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits P=1\) et que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient symétriques.
On fait sur \(A\) les mêmes hypothèses qu’à la question précédente. On suppose qu’il existe \((n_1,\ldots,n_k,m_1,\ldots,m_k)\in\mathbf{Z}^{2k}\) tel que : \(A^{n_1}B^{m_1}\ldots A^{n_k}B^{m_k}=I_2\).
Montrer que \(A^{-n_1}B^{-m_1}\ldots A^{-n_k}B^{-m_k}=I_2\).
[concours/ex3599] mines M 1992 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\), \(f\) et \(g\) deux éléments de \(O(E)\).
[concours/ex3599]
On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+I)\) paire. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits f=1\).
On suppose que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et \(fg=gf\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits g=1\).
[examen/ex3263] mines MP 2025 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le nombre de matrices \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2\).
[examen/ex3263]
[concours/ex6253] ens MP 2006 Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(2n\) et de norme \(\|\ \|\), \(F\) un sous-espace de \(E\) de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(F)\) et \(p\) la projection orthogonale de \(E\) sur \(F\). Montrer l’équivalence entre :
[concours/ex6253]
\(\forall x\in F\), \(\|u(x)\|\leqslant\|x\|\) ;
\(\exists v\in\mathscr{O}(E)\), \(u=p\mathbin{\circ} v_{|F}\).
[planches/ex1711] polytechnique MP 2017 Soient \(n\) et \(d\) dans \(\mathbf{N}^*\). Soient \(M_1\), … , \(M_n\) dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kM_k=I_d\). On définit l’endomorphisme \(L\), de l’espace vectoriel \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) dans lui-même, par l’égalité \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{}^tM_kXM_k\).
[planches/ex1711]
Enfin, si \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), on écrit \(X\geqslant 0\) lorsque, pour tout \(Y\in\mathscr{M}_{d,1}(\mathbf{R})\), \({}^tYXY\geqslant 0\).
Soit \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\). Montrer que, si \(X\geqslant 0\), alors \(L(X)\geqslant 0\).
Montrer l’existence de \(p\in\mathbf{N}^*\), de \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbf{R})\) vérifiant \({}^tVV=I_d\), et d’un morphisme d’algèbres \(\pi\), de \(\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\) vers \(\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), tel que \(\pi({}^tX)={}^t(\pi(X))\) et \(L(X)={}^tV\pi(X)V\), pour tout \(X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\).
Montrer que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(L({}^tXX)-{}^t(L(X))L(X)\geqslant 0\).
[planches/ex6087] ens saclay, ens rennes MP 2021
[planches/ex6087]
Pour \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), montrer que : \[\left|\matrix{A&B\cr0&C}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(C),\quad\left|\matrix{A&B\cr B&A}\right|=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A-B)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+B),\quad\left|\matrix{A&-B\cr B&A}\right|\geqslant 0.\]
Le but de l’exercice est de démontrer que, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), on a \(AB=0\) si et seulement si, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\).
Montrer le sens direct.
Soient \(M\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) et \(N\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que, pour tout \(t\in\mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M-tN)=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(N)\neq\{0\}\).
En déduire que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) tels que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA-yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-yB)\), alors il existe un vecteur propre de \(A\) appartenant au noyau de \(B\).
[oraux/ex3507] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mu_M\) le polynôme minimal de \(M\).
[oraux/ex3507]
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Exprimer \(\mu_{A^{-1}}\) en fonction de \(\mu_A\).
Soit \(A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\). On suppose que 1 et \(-1\) ne sont pas racines de \(\mu_A\). Montrer que \(\mu_A\) est un polynôme réciproque de degré pair.
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tels que : \(\mu_A=\mu_B\) et \(\mu_A\) est irréductible. Montrer que \(A\) et \(B\) sont orthogonalement semblables.
[oraux/ex8834] ens PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de spectre réel. On suppose que, pour tout \(i\in[[1,n]]\), \(a_{i,i}=1\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\neq i}a_{i,j}\leqslant 1\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\) appartient à \([0,1]\).
[oraux/ex8834]
[planches/ex6093] ens saclay, ens rennes MP 2021 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).
[planches/ex6093]
Montrer que \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^*A)}\) définit une norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Montrer que pour tout \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U^*U=I_n\) et pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on a \(\|UA\|=\|AU\|=\|A\|\).
Pour \((p,q)\in[[1,n]]^2\) tel que \(p\neq q\), pour tout \(\theta\in\mathbf{R}\), on note \(G(p,q,\theta)\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ayant les mêmes coefficients que \(I_n\) sauf éventuellement aux positions suivantes : \(G(p,q,\theta)_{p,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{q,q}=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\), \(G(p,q,\theta)_{p,q}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(G(p,q,\theta)_{q,p}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\). Montrer que \(\|G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\|=\|A\|\) pour tout \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Soient \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(p<q\) dans \([[1,n]]\) tels que \(a_{p,q}\neq0\). Montrer qu’il existe un unique \(\theta\in\displaystyle\left]-{\pi\over4},0\right[\cup\left]0,{\pi\over4}\right[\) tel que, pour \(B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\), on ait \(b_{p,q}=0\) et \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nb_{i,i}^2=2a_{p,q}^2+\sum\limits_{i=1}^na_{i,i}^2\).
[examen/ex3073] polytechnique, espci PC 2025 Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_p\).
[examen/ex3073]
Pour \(X\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\), on pose \(L(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\).
On écrit \(M\geqslant N\) pour signifier \(M-N\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(L(X^TX)\geqslant L(X^T)L(X)\).
[oraux/ex6865] ens cachan MP 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).
[oraux/ex6865]
On fixe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Déterminer le maximum de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A+XB))\) pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
On se donne \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et on se place dans \(\mathbf{R}[X,Y]\). Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA-YB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-XA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_n-YB)\hbox{ si et seulement si }AB=0.\]
[concours/ex0115] polytechnique PC 1996 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles, \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\) les valeurs propres supposées distinctes de \(A\) ; \(x_1\), … , \(x_n\) une base orthonormée de vecteurs propres. Trouver un développement limité en \(0\) des valeurs propres \(\mu_i\) de \(A+\varepsilon B\) sous la forme : \[\mu_i=\lambda_i+\varepsilon\lambda_{i1}+\varepsilon^2\lambda_{i2}+ \cdots+\varepsilon^n\lambda_{in}+o(\varepsilon^n)\,.\] Même question pour les vecteurs propres \(y_i\).
[concours/ex0115]
[oraux/ex0464] centrale 2004 Soit \(D\) une matrice diagonale réelle de taille \(n\), de valeurs propres notées \(\lambda_1<\ldots<\lambda_n\). On se donne une matrice symétrique réelle \(V\), et pour \(\varepsilon>0\), on note \(\mu_1\leqslant\ldots\leqslant\mu_n\) les valeurs propres de \(M(\varepsilon)=D+\varepsilon V\) ; montrer que, pour tout \(i\), \(\mu_i\) admet un développement limité à tous ordres en \(\varepsilon\) lorsque ce dernier tend vers 0. Déterminer les deux premiers termes du développement.
[oraux/ex0464]
[oraux/ex3600] polytechnique MP 2011 Quelles sont les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \(PA\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) ?
[oraux/ex3600]
[oraux/ex0747] polytechnique MP 2009 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour toute matrice inversible \(P\), \(PS\) soit encore symétrique. Que dire de \(S\) ? Donner deux méthodes.
[oraux/ex0747]
La plupart des textes affichés provoquent l'apparition de bulles d'aide au passage de la souris