[oraux/ex0431] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace hermitien et \(\mathscr{H}(E)\) l’espace réel des endomorphismes hermitiens de \(E\). Si \(u\in\mathscr{H}(E)\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\) le spectre de \(u\) et, pour \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u\), \(p_\lambda\) le projecteur orthogonal de \(E\) sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Si \(f\) est une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on pose : \(f(u)=\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits u}f(\lambda)p_\lambda\).
[oraux/ex0431]
Soit désormais \(f\) une application convexe de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Pour \(t\in[0,1]\) et \((u,v)\in\mathscr{H}(E)^2\), comparer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}(1-t)f(u)+tf(v)\right)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f((1-t)u+tv)\right)\).
[oraux/ex3513] ens cachan MP 2011
[oraux/ex3513]
Soit \(A\in\mathscr{M}_p(\mathbf{R})\). Montrer qu’on a, pour \(x\) réel au voisinage de 0 : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA))=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)x^n.\]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{S}_p(\mathbf{R})\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
\(AB=0\) ;
\(\forall(x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA+yB)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+xA)\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(I_p+yB)\).
Le résultat est-il encore vrai si \(A\) et \(B\) ne sont plus symétriques réelles ?
[examen/ex3271] mines MP 2025 Soit \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).
[examen/ex3271]
Montrer qu’il existe un unique couple \((O,S)\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\times\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) tel que \(M=OS\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM),\ A\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\).
[oraux/ex0430] centrale 2004 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(s\) un endomorphisme symétrique de \(E\).
[oraux/ex0430]
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathscr{O}(E)\}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(us),\ u\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits(E)\}\).
[oraux/ex0901] mines PSI 2010 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On note \(\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\ldots\leqslant\lambda_n\) ses valeurs propres. On appelle \(\Omega\) l’ensemble des matrices orthogonalement semblables à \(S\).
[oraux/ex0901]
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\Omega\). Montrer que : \(\forall k\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{k,k}\in[\lambda_1,\lambda_k]\).
Soit \(g:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction convexe. Montrer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\left\{\sum\limits_{k=1}^ng(a_{k,k}),\ A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\Omega\right\}=\sum\limits_{k=1}^ng(\lambda_k).\]
Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(\mathscr{S}(E)\) l’espace vectoriel des endomorphismes symétriques de \(E\). Pour \(u\in\mathscr{S}(E)\) et \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) convexe, on note \(f(u)=\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(u)}f(\lambda)p_{\lambda,u}\) où \(p_{\lambda,u}\) est le projecteur orthogonal sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Montrer que \(u\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}f(u)\right)\) est convexe sur \(\mathscr{S}(E)\).
[oraux/ex8168] centrale MP 2015 (avec Python)
[oraux/ex8168]
Python
Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On cherche à établir l’existence de \(\Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.
Démontrer le résultat pour \(n=2\) et expliciter, en fonction de \(A\), une matrice \(\Omega\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \({}^t\Omega A\Omega\) ait sa diagonale constante.
On pose \(A=\pmatrix{0&2\cr2&1}\). Donner, à l’aide de Python, \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) de diagonale constante.
Soit \(\Gamma=\{ {}^t\Omega A\Omega,\ \Omega\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\). Montrer que \(\Gamma\) est compact.
Soit \(f:M\in\Gamma\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(i,j)\in[[1,n]]^2}|M_{i,i}-M_{j,j}|\). Montrer que \(f\) présente un minimum.
En déduire le résutat annoncé.
[oraux/ex4191] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex4191]
Maple
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice de rotation \(O\) telle que \({}^tOAO\) ait ses coefficients diagonaux égaux. Donner avec Maple l’angle de la rotation en fonction des coefficients de \(A\).
Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}|A(i,i)-A(j,j)|\). Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’ensemble \(\{ {}^tOAO,\ O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\}\) est compact. En déduire que \(f\) réalise son minimum sur cet ensemble.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(f(A)\) soit non nul, et \(i\), \(j\) tels que \(f(A)=|A(i,i)-A(j,j)|\). Montrer qu’il existe \(A'\) orthogonalement semblable à \(A\) telle que \(A'(i,i)=A'(j,j)\) et telle que, pour tout \(k\) différent de \(i\) et de \(j\), on ait \(A'(k,k)=A(k,k)\) et \(|A'(k,k)-A'(i,i)|<f(A)\).
En déduire que, si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(B\) orthogonalement semblable à \(A\) dont les coefficients diagonaux sont égaux.
[oraux/ex0817] centrale MP 2009 (avec Maple)
[oraux/ex0817]
On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifie la propriété \(\mathscr{P}\) si et seulement si le polynôme caractéristique de \(M\) est égal à \(\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n(X-m_{i,,i})\).
Trouver les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(\mathscr{P}\).
Si \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), comparer la somme des carrés des termes diagonaux de \(M\) et la somme des carrés des valeurs propres de \(M\) comptées avec multiplicités. En déduire les matrices symétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).
Trouver les matrices antisymétriques réelles vérifiant \(\mathscr{P}\).
[oraux/ex8026] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex8026]
Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(A=OS\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{O\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})}\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(OA)\).
[oraux/ex7858] polytechnique MP 2013 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(a_1\), … , \(a_n\), \(b_1\), … , \(b_n\) des réels tels que \(a_1\geqslant a_2\geqslant\cdots\geqslant a_n\geqslant 0\) et \(b_1\geqslant b_2\geqslant\cdots\geqslant b_n\geqslant 0\).
[oraux/ex7858]
Soit \(S\) l’application de \(\mathfrak{S}_n\) dans \(\mathbf{R}\) qui à \(\sigma\) associe \(S(\sigma)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_kb_{\sigma(k)}\). Déterminer le maximum et le minimum de \(S\).
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices diagonales dont les termes diagonaux sont, respectivement et dans cet ordre \(a_1\), … , \(a_n\) et \(b_1\), … , \(b_n\). Pour \(U\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), on pose \(f(U)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AUBU^{-1})\). Déterminer le maximum de \(f\).
Soient \(A_1\), … , \(A_n\), \(B_1\), … , \(B_n\) des points distincts du plan. Existe-t-il une permutation \(\sigma\) de \([[1,n]]\) telle que \(\forall(i,j)\), \(i\neq j\Rightarrow[A_iB_{\sigma(i)}]\cap[A_jB_{\sigma(j)}]=\varnothing\) ?
[planches/ex1464] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on pose \(A^*={}^t\overline A\) et on introduit l’ensemble \(U_n(\mathbf{C})\) des matrices unitaires \(A\), matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^*A=I_n\). On admet que toute matrice unitaire est unitairement semblable à une matrice diagonale.
[planches/ex1464]
On pose, pour \(A\) et \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\) et \(\|A\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A^*A}\).
Soient \(A\) et \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\|I_n-[A,B]\|\leqslant\sqrt2\|I_n-A\|\times\|I_n-B\|\).
Indication : On pourra montrer que, si \((C,P)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\times U_n(\mathbf{C})\), \(\|CP\|=\|PC\|=\|C\|\).
Soient \(A\), \(B\) dans \(U_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(A\) commute avec \([A,B]\) et que \(\|I_n-B\|<\sqrt2\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
[concours/ex1353] ens paris MP 1998 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) deux matrices hermitiennes positives. Montrer qu’il existe \(T\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(T^*AT\) et \(T^*BT\) soient diagonales.
[concours/ex1353]
[oraux/ex0471] polytechnique MP 2005 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(\{X\in\mathbf{C}^n\mid X^*AX=X^*BX=0\}=\{0\}\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) et \(P^*BP\) soient triangulaires supérieures.
[oraux/ex0471]
[oraux/ex0920] centrale PSI 2010 Soit \(\mathscr{H}\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) constitué de matrices diagonalisables. On veut montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathscr{H}=P\mathscr{S}_2(\mathbf{R})P^{-1}\).
[oraux/ex0920]
Montrer que \(\mathscr{H}\) contient une matrice non inversible non nulle.
Montrer que, par conjugaison, on peut se ramener à \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A,B,C)\) où \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{cc}1&\omega^2\\1&0\end{array}\right)\) avec \(\omega\in\mathbf{R}_+^*\).
En déduire le résultat.
[planches/ex3199] polytechnique MP 2018 Lorsque \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) on pose \(N(M)=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)}\).
[planches/ex3199]
Montrer que \(N\) est une norme sous-multiplicative, invariante par la conjugaison des éléments du groupe orthogonal.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). On note \([A,B]=ABA^{-1}B^{-1}\). On suppose que \(N(B-I_3)<2\) et que \(A\) commute avec \([A,B]\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.
Soit \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_3(\mathbf{R})^2\). Montrer que \(N(I-[A,B])\leqslant 2N(I-A)\,N(I-B)\).
[planches/ex0497] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soit \(A\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\), telle qu’il existe \(n_0\) pour lequel tous les coefficients de \(A^{n_0}\) sont strictement positifs. On note \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_k)_{k\in\mathbf{Z}}\) dans \([[1,N]]^2\) telles que, pour tout \(k\in\mathbf{Z}\), \(A_{\omega_k,\omega_{k+1}}=1\).
[planches/ex0497]
Montrer que \(\Omega\) n’est pas vide.
Soit \(\pi_n\) le nombre d’éléments de \(\Omega\) qui sont \(n\)-périodiques. Montrer que le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{\pi_n\over n}x^n\) est strictement positif.
Montrer que \(\xi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_n\over n}x^n\right)\) est une fraction rationnelle de \(\mathbf{Q}(X)\).
[planches/ex4589] ens PC 2019 Soit \(V\) un hyperplan de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) dont tous les éléments sont diagonalisables dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex4589]
Montrer que \(I_2\in V\).
Donner un exemple de tel hyperplan \(V\).
Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}VP\) contienne toutes les matrices diagonales.
Montrer qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(Q^{-1}VQ=\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).
[oraux/ex5025] polytechnique MP 2012
[oraux/ex5025]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\) inversible telle que \({}^tPAP\) et \({}^tPBP\) soient diagonales.
Le résultat est-il encore vrai si l’on suppose simplement \(A\) et \(B\) dans \(S_n^{+}(\mathbf{R})\) ?
[concours/ex8869] ens paris MP 2010 Soient \(m\) un entier \(\geqslant 2\), \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients appartiennent à \(\{0,1\}\) et telle qu’il existe \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\) tel que tous les coefficients de \(A^p\) soient \(>0\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbf{Z}\) dans \(\{1,\ldots,m\}\), \(\theta\) l’application de \(F\) dans \(F\) qui à la suite \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) associe la suite \((\omega_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). On note enfin \(\Omega\) l’ensemble des suites \((\omega_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) appartenant à \(F\) telles que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\).
[concours/ex8869]
Vérifier que \(\theta\) est une bijection de \(F\) sur \(F\), que \(\Omega\) est non vide.
Pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soient \(P_n\) l’ensemble des points fixes de \(\theta^n\) appartenant à \(\Omega\), \(\pi_n\) le cardinal de \(P_n\), \(P=\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbf{N}^*}P_n\). Montrer qu’existe \(R\) dans \(\mathbf{Q}(X)\) dont 0 n’est pas pôle et \(\eta>0\) tels que, pour \(x\in\left]-\eta,\eta\right[\), on ait : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\pi_nx^n\over n}\right)=R(x)\).
Pour \(\omega\) dans \(P\), soit \(p(\omega)\) le plus petit \(n\) de \(\mathbf{N}^*\) tel que \(\omega\) appartienne à \(P_n\). Enfin, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), soit \(Q_n\) l’ensemble des \(\omega\) de \(P\) tels que \(p(\omega)=n\). On définit une relation \(\sim\) sur \(P\) par : \(\omega\sim\omega'\) si et seulement s’il existe \(k\) dans \(\mathbf{Z}\) tel que \(\theta^k(\omega)=\omega'\). Vérifier que c’est une relation d’équivalence sur \(P\), que \(p\) est constante sur les classes de \(\sim\). Si \(\widetilde P\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) et \(\tilde p\) la fonction déduite de \(p\) sur \(\widetilde P\), montrer, pour \(x\) réel assez près de 0, l’égalité : \(R(x)=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{u\in\widetilde P}{1\over1-x^{\tilde p(u)}}\).
[oraux/ex3512] ens paris MP 2011 Soient \(N\) un entier \(\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant N}\in\mathscr{S}_N(\mathbf{R})\) à coefficients dans \(\{0,1\}\). On suppose qu’il existe \(m\in\mathbf{N}\) tel que \(A^m\) a ses coefficients strictement positifs. On note \(\Omega_A=\{\omega\in\{1,\ldots,N\},\ \forall n\in\mathbf{Z},\ a_{\omega_n,\omega_{n+1}}=1\}\).
[oraux/ex3512]
Montrer que \(\Omega_A\) est non vide. Soit \(\Theta:(u_n)_{n\in\mathbf{Z}}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\mathbf{Z}}\). Montrer que \(\Theta\) induit une bijection de \(\Omega_A\) sur \(\Omega_A\).
On appelle orbite tout ensemble du type \(\{\Theta^n(\omega),\ n\in\mathbf{N}\}\) avec \(\omega\in\Omega_A\). On note \(\mathscr{O}_f\) l’ensemble des orbites finies. Soit \(g:x\mapsto\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{C\in\mathscr{O}_f}{1\over1-x^{\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(C)}}\). Montrer que \(g\) est définie au voisinage de 0. Montrer que \(g\) est une fraction rationnelle ; l’exprimer en fonction de \(A\).
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