Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

1. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.

2. Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

3. Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.

[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.

[planches/ex5065] mines PSI 2019 Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) de trace nulle. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.

[concours/ex3595] mines M 1992 Soit \(q\) une forme quadratique définie sur l’espace euclidien canonique \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice dans la base canonique est \(A\). Montrer l’équivalence des deux propositions :

1. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) ;

2. il existe une base orthonormée \((e_1,\ldots,e_n)\) telle que, pour tout \(i\), \(q(e_i)=0\).

[oraux/ex0589] centrale MP 2006 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\in E\setminus\{0\}\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.

[concours/ex1738] polytechnique PC 1999 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(Q\) telle que \(Q^{-1}MQ\) ait le même nombre \(\lambda\) sur toute la diagonale.

[oraux/ex8262] mines PSI 2016 Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) symétrique tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\) non nul dans \(E\) tel que \(\langle x,u(x)\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.

[planches/ex6215] escp S 2021 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \((E,\langle \,\ \rangle\)) un espace euclidien de dimension \(n\). On note \(\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n)\) une base orthonormale de \(E\). Soit \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est une matrice \(A\).

On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et on se propose de montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice associée à \(u\) a tous ses termes diagonaux nuls.

1. On suppose dans cette question que \(n=2\).

   1. On suppose que \(A\) n’est pas inversible. Montrer le résultat demandé.

   2. On suppose que \(A\) est inversible.

      1. Montrer qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}'=(v_1,v_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) et un réel \(\alpha\) pour lesquels la matrice de \(u\) dans la base \(\mathcal{B}'\) est \(A'= \left(\begin{array}{cc} \alpha &0\\ 0&-\alpha\end{array}\right)\).

      2. On pose \(w_1=v_1+v_2\) et \(w_2=v_1-v_2\). Calculer \(u(w_1)\) et \(u(w_2)\) et en déduire le résultat demandé.

2. On revient au cas général où \(n\) est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

   1. 1. Montrer qu’il existe deux indices \(i\) et \(j\) de \([[1,n]]\), \(i\neq j\), tels que : \[\langle e_i,u(e_i)\rangle\times \langle e_j,u(e_j)\rangle \leqslant 0\]

      2. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \([0,1]\) par : \[\forall t\in[0,1],\quad\varphi(t)=\langle u(te_i+(1-t)e_j),te_i+(1-t)e_j\rangle,\] Montrer, en utilisant cette fonction, qu’il existe un vecteur \(x\) non nul tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

   2. Montrer qu’il existe une base orthonormale de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est de la forme : \(\left(\begin{array}{cc|cc} 0& &\ast & \\ \hline \ast & & & \\ \vdots & & C & \\ \ast & & & \end{array}\right)\), où \(C\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{n-1}(\mathbf{R})\).

   3. En déduire, par récurrence, la propriété énoncée au début de l’exercice.

[oraux/ex8121] polytechnique MP 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Établir l’existence de \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tAA=OA{}^tA{}^tO\).

[oraux/ex0849] tpe PC 2009 Soient \(A\), \(N\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont diagonalisables.

2. Montrer que \(MN\) et \(NM\) ont les mêmes valeurs propres et que les espaces propres associés à une valeur propre \(\lambda\neq0\) ont même dimension.

3. Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. En déduire qu’il existe \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tAA={}^tUA{}^tAU\).

[oraux/ex0594] centrale MP 2006 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que \({}^tAA\) et \(A{}^tA\) sont semblables.

[planches/ex3463] mines MP 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) ont le même polynôme caractéristique.

2. Montrer que \(A{}^tA\) et \({}^tAA\) sont semblables.

[planches/ex1704] polytechnique MP 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que \(\lambda I_n-{}^tAA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) si et seulement si \(\lambda I_n-A{}^tA\in\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\).

[oraux/ex8141] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \({}^tA=-A\) si et seulement si, pour tout \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), la matrice \(P^{-1}AP\) a une diagonale nulle.

[oraux/ex8082] centrale PC 2014 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\) de trace nulle.

1. On suppose \(u\) symétrique.

   1. Montrer qu’il existe \(x\neq0\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

   2. Montrer, par récurrence, qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.

2. On ne suppose plus \(u\) symétrique. Montrer que ce dernier résultat est encore vrai.

[concours/ex6500] polytechnique PC 2006 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe une unique matrice \(T\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), positive telle que \(T^2={}^tMM\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\).

3. On dit que \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une isométrie partielle s’il existe un sous-espace \(E\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que : \(\forall x\in E\), \(\|U(x)\|=\|x\|\) et que : \(\forall x\in E^\perp\), \(U(x)=0\).

   Montrer qu’il existe une isométrie partielle \(U\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(M=UT\).

4. Montrer qu’il existe une et une seule isométrie partielle \(V\) de \(\mathbf{R}^n\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits V=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits M\) et \(M=VT\).

[oraux/ex3613] polytechnique MP 2011 Soient \(Q\) une forme quadratique positive sur \(\mathbf{R}^n\) et \(B\) la forme bilinéaire symétrique polaire. Soit \((a_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\) une famille de vecteurs telle que, pour tout \(i\neq j\), \(B(a_i,a_j)<0\).

1. Soit \((c_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\in\mathbf{R}^p\) tel que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pc_ia_i\right)=0\). Montrer que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^p|c_i|a_i\right)=0\).

2. On suppose maintenant que \((a_i)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\). Montrer qu’alors le noyau de \(B\) est de dimension 1 ou 0.

3. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\neq j\), \(a_{i,j}<0\). Que peut-on dire de la multiplicité de la plus petite valeurs propre de \(A\) ?

[examen/ex0404] centrale MP 2023

1. Rappeler la définition de l’indicatrice d’Euler, exprimer \(\varphi(n)\) en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

2. Pour \(n\geqslant 2\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs).

3. En déduire le déterminant de \(A\), où \(A_{i,j}=i\wedge j\).

[oraux/ex0820] centrale MP 2009 (avec Maple)

On note \(\varphi\) l’indicatrice d’Euler, et on définit trois matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) par : \([G_n]_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(i,j)\) ; \([A_n]_{i,j}=1\) si \(i\mid j\) et 0 sinon ; \(F_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\varphi(1),\ldots,\varphi(n))\). On note \(D_n\) l’ensemble des diviseurs de \(n\).

1. Soit \(f:\{1,\ldots,n\}\rightarrow D_n\) définie par : \(\forall k\), \(f(k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(n,k)\). Montrer que tout \(d\in D_n\) admet exactement \(\varphi(n/d)\) antécédents par \(f\). En déduire que \(\sum\limits_{d\in D_n}\varphi(d)=n\).

2. Définir sous Maple les matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\), et vérifier que \(G_n={}^tA_nF_nA_n\).

3. Démontrer l’égalité précédente, et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(G_n)\).

4. Déterminer une matrice \(B_n\) triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs telle que \(G_n={}^tB_nB_n\). Qu’en conclure ?

[oraux/ex7899] mines PSI 2013

1. Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\lambda\in\mathbf{R}_+,\ \forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\ (\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^2\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tAA)}\right\}\).

2. Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\lambda\in\mathbf{R}_+,\ \forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tAA)}\right\}\).

3. Peut-on généraliser à \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) les résultats précédents ?