Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0929] centrale PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche à écrire \(A={}^tLL\) où \(L\) est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

1. Étudier l’existence de \(L\) pour \(A=\left(\begin{array}{cc}8&5\\5&4\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cc}4&6\\6&1\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&10&12\\3&10&25&14\\ 4&12&14&35\end{array}\right)\).

2. Trouver une relation entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits L\).

3. Si \(L\) existe, montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,,i}>0\). Est-ce suffisant ?

[planches/ex8748] centrale PC 2022 On munit \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de sa norme euclidienne usuelle : \(\|M\|=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^TM)}\). On considère \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe \((S,\Omega)\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\times\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M=\Omega S\).

2. Calculer \(d(M,\mathscr{O}_n(\mathbf{R}))=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})}\|M-V\|\).

   Indication : Montrer que, pour \(V\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\|MV\|=\|VM\|=\|M\|\).

[examen/ex2235] centrale MP 2024

1. Soit \(M\in\mathscr{S}_d(\mathbb{R})\). Montrer que le spectre de \(M\) est inclus dans \(\mathbf{R}^+\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb{R}^d\), \(\langle Mx,x\rangle\geqslant 0\).

2. Soient \(M_1\), … , \(M_n\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\) telles que \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d\). On pose, pour \(X\in\mathscr{S}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nM_i^TXM_i\). Montrer que \(\mathscr{L}\) préserve le caractère symétrique positif.

3. Donner \(p\in\mathbb{N}\), \(\Pi:\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\rightarrow\mathscr{M}_p(\mathbb{R})\) morphisme d’algèbre vérifiant \(\Pi(X^T)=\Pi(X)^T\) et \(V\in\mathscr{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) vérifiant \(V^TV=I_d\) tels que \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X)=V^T\Pi(X)V\).

   Pour \(M\), \(N\in\mathscr{M}_d(\mathbb{R})\), on note \(M\geqslant N\) si et seulement si \(M-N\) est symétrique positive.

4. Montrer \(\mathscr{L}(X^TX)\geqslant\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

5. On suppose qu’il existe \(\mathscr{K}\) du même type que \(\mathscr{L}\) tel que \(\mathscr{L}\mathbin{\circ}\mathscr{K}=\mathscr{K}\mathbin{\circ}\mathscr{L}=\mathscr{I}\). Montrer que : \(\forall X\in\mathscr{M}_d(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(X^TX)=\mathscr{L}(X^T)\mathscr{L}(X)\).

[planches/ex7573] ens lyon MP 2022 Une matrice \(H\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est dite hermitienne lorsque, pour tout \((i,j)\in[[1,n]]^2\), \(h_{i,j}=\overline{h_{j,i}}\) et une telle matrice est dite positive (resp. définie positive) lorsque toutes ses valeurs propres sont réelles positives (resp. réelles strictement positives).

1. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne positive.

2. Déterminer les formes linéaires \(f\) sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(f(I_n)=1\) et \(f(H)\in\mathbf{R}_+^*\) pour toute \(H\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne définie positive.

[concours/ex1875] ens paris MP 1999 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que : \[\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\quad a_{i,j}\geqslant 0,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{i,k}=1,\quad\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}=1.\] Soient \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) tels que \(0\leqslant x_n\leqslant x_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant x_1\) et \(0\leqslant y_n\leqslant y_{n-1}\leqslant\cdots\leqslant y_1\). Montrer que \({}^tXAY\leqslant{}^tXY\).

Indication : on pourra introduire les suites \((a_i)\) et \((b_i)\) telles que \(x_n=a_n\), \(x_{n-1}=a_n+a_{n-1}\), … , \(x_1=a_n+\cdots+a_1\) et \(y_n=b_n\), \(y_{n-1}=b_n+b_{n-1}\), … , \(y_1=b_n+\cdots+b_1\).

[oraux/ex8194] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit un entier \(n\) au moins égal à 3. On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. On note \(E\) l’espace des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbf{R}^n\).

1. Dans \(\mathbf{R}^n\) on donne des vecteurs unitaires \(X\), \(Y\), \(V\), \(W\) tels que \(X\) et \(V\) d’une part, \(Y\) et \(W\) d’autre art, sont orthogonaux. Montrer l’existence de \(G\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tel que \(GX=Y\) et \(GV=W\).

2. Soit \(B\) un élément de \(E\) tel que \(B(GX,GY)=B(X,Y)\) pour tous \(X\), \(Y\) de \(\mathbf{R}^n\) et \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Que peut-on dire de \(B\) ?

3. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable si, pour tout \(B\) de \(F\) et tout \(G\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\), \((X,Y)\mapsto B(GX,GY)\) est dans \(F\). Décrire les sous-espaces stables de \(E\).

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[planches/ex8603] centrale PSI 2022 Pour \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), on pose \(M^*=\overline M^T\).

Soient \(A=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*=-M,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\}\) et \(G=\{M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\ ;\ M^*M=I_2,\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=1\}\).

1. Montrer que \(A\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. L’ensemble \(A\) est-il un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel ?

3. Caractériser \(A\cap G\).

4. Une matrice appartenant à \(G\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex7558] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soient \(A_1\) et \(A_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. Toute combinaison linéaire de \(A_1\) et \(A_2\) est diagonalisable ;

2. une, et une seule, des propriétés suivantes est vraie :

   • toute combinaison linéaire non nulle de \(A_1\) et \(A_2\) admet deux valeurs propres réelles distinctes ;

   • les matrices \(A_1\) et \(A_2\) sont codiagonalisables ;

3. il existe \(S\in\mathscr{S}_2^{++}(\mathbf{R})\) telle que, pour toute combinaison linéaire \(A\) de \(A_1\) et \(A_2\), on ait \(SA\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.