Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0929] centrale PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On cherche à écrire \(A={}^tLL\) où \(L\) est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs.

1. Étudier l’existence de \(L\) pour \(A=\left(\begin{array}{cc}8&5\\5&4\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cc}4&6\\6&1\end{array}\right)\), \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&10&12\\3&10&25&14\\ 4&12&14&35\end{array}\right)\).

2. Trouver une relation entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits L\).

3. Si \(L\) existe, montrer que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,,i}>0\). Est-ce suffisant ?

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[oraux/ex5027] polytechnique MP 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(k\in\mathbf{N}\) impair tel que \(A^k+B^k=2I_n\). Montrer que \(2I_n-A-B\in S_n^+(\mathbf{R})\).

2. Soit \(j\in\mathbf{N}\) tel que \(2I_n-A^{2j}-B^{2j}\in S_n^+(\mathbf{R})\). Montrer que \(2I_n-A^j-B^j\in S_n^+(\mathbf{R})\).

[oraux/ex0635] ens lyon PC 2008 On se place dans \(\mathbf{R}^{2n}\) muni du produit scalaire canonique. Soit \(E\) le sous-espace vectoriel engendré par les \(n\) premiers vecteurs de la base canonique. On appelle \(\pi\) la projection orthogonale sur \(E\). Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(\forall x\in E\), \(\|\varphi(x)\|\leqslant\|x\|\). Montrer qu’il existe \(\sigma\in\mathscr{O}(\mathbf{R}^{2n})\) tel que \(\varphi=\pi\mathbin{\circ}\sigma_{|E}\).

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[examen/ex2729] ens paris MP 2025 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On appelle forme quadratique sur \(\mathbf{R}^n\) toute application \(q:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) telle qu’il existe \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(q(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}x_ix_j\) pour tout \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n\). Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) tels que \(\{0\}\) et \(\mathbf{R}^n\) sont les seuls sous-espaces de \(\mathbf{R}^n\) stables par tous les éléments de \(G\). Montrer que les formes quadratiques invariantes par \(G\) constituent une droite vectorielle.

[planches/ex5862] polytechnique MP 2020 Soient \(n\) et \(p\) deux éléments de \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n\geqslant p\), \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\) et \[S=\pmatrix{A&B\cr B^T&0}.\] Montrer que \(S\) est inversible si et seulement s’il existe \(C\in\mathscr{M}_{n,n-p}(\mathbf{R})\) de rang \(n-p\) telle que \(C^TB=0\) et \(C^TAC\) soit inversible.

[oraux/ex6649] ens lyon MP 2013 On fixe \(p\) un nombre premier impair. On admet que le groupe multiplicatif \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) est cyclique. On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des fonctions de \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) dans \(\mathbf{C}\). On munit \(E\) du produit hermitien défini par \((f,g)\mapsto\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\overline{f(x)}g(x)\). On choisit un générateur \(y\) de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\). Pour \(j\) dans \(\{0,\ldots,p-2\}\), on définit \(\chi_j\in E\) par \(\chi_j(0)=0\) et \(\chi_j(y^s)=e^{i\textstyle{2\pi js\over p-1}}\) pour tout \(s\in\{0,\ldots,p-2\}\).

1. Montrer que \(\chi_j\) induit un morphisme de groupes de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) dans \(\mathbf{C}^*\).

2. Pour \(j\in\{0,\ldots,p-2\}\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\chi_j(x)\).

3. Que vaut \(\chi_j(-1)\) ?

4. On note \(e_0\) l’élément de \(E\) défini par \(x\mapsto\delta_{x,0}\). Trouver un complexe \(\lambda\) tel que : \((e_0,\lambda\chi_0,\lambda\chi_2,\ldots,\lambda\chi_{p-2})\) soit une base orthonormée de \(E\).

5. On fixe un générateur \(\zeta\) du groupe des racines \(p\)-ièmes de l’unité. On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\) représenté dans la base canonique par la matrice \((\zeta^{(i-1)(j-1)})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Calculer \(\Phi^2\), déterminer ses éléments propres. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits\Phi\).

[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.

2. Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?

4. Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).

5. Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.

[oraux/ex0696] centrale MP 2008 (avec Maple)

1. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}\in\mathscr{S}_2(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\).

2. Déterminer toutes les matrices \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telles que \(a_{1,1}\) soit égal à la plus petite valeur propre de \(A\) et \(a_{3,3}\) à la plus grande.