Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5862] polytechnique MP 2020 Soient \(n\) et \(p\) deux éléments de \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n\geqslant p\), \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\) et \[S=\pmatrix{A&B\cr B^T&0}.\] Montrer que \(S\) est inversible si et seulement s’il existe \(C\in\mathscr{M}_{n,n-p}(\mathbf{R})\) de rang \(n-p\) telle que \(C^TB=0\) et \(C^TAC\) soit inversible.

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).

[oraux/ex0388] mines 2003 Soient \(H_n=\left\{\vphantom{|_|}A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ {}^tAA=nI_n\hbox{ et }\forall i,j,\ a_{i,j}\in\{-1,1\}\right\}\), \[\widetilde U=\left(\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}\right)\quad\hbox{et} \quad\widetilde V=\sum\limits_{k=1}^nV_k,\] où les \(V_k\) sont les colonnes de \(A\).

1. On note \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   Calculer \(\langle V_{k_1},V_{k_2}\rangle={}^tV_{k_1}V_{k_2}\), \(\|\widetilde V\|^2\) et \(\|\widetilde U\|^2\). En déduire l’existence de \(\xi\) tel que \(\|\widetilde V\|\times\|\widetilde U\|=n^\xi\).

2. Soit : \[\begin{array}{rcl}\phi:\mathscr{M}_n(\mathbf{R})&\longrightarrow\mathbf{R}\\ A&\longmapsto&\sum\limits_{i,j}a_{i,j}.\end{array}\] Montrer que \(|\phi(A)|\leqslant n^\xi\).

3. Montrer que, si \(n\) n’est pas un carré, que l’on n’a jamais égalité.

4. Dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\), trouver \(A\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=-4\) et \(\phi(A)=4^\xi\).

5. Montrer que pour tout \(A\) de \(h_n\) il existe \(\Delta\) et \(\Delta'\) diagonales à coefficients diagonaux dans \(\{-1,1\}\) telles que \(B=\Delta A\Delta'\) soit de la forme : \[\left(\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\ 1&*&\cdots&*\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&*&\cdots&*\end{array}\right).\]

[examen/ex1617] mines MP 2024 Soit \(E\) un espace réel de dimension \(n\geqslant 2\). Lorsque \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(E\), on note \(\mathscr{O}_{\Phi}(E)\) le groupe des isométries pour \(\Phi\), et \(\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour \(\Phi\).

1. On fixe un produit scalaire \(\Phi\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\Psi\) est un produit scalaire,

   2. \(\exists a\in\mathscr{S}_{\Phi}^{++}(E)\), \(\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)\).

2. Soit \(u\in\mathscr{O}_{\Phi}(E)\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \(u\in\mathscr{O}_{\Psi}(E)\) (on utilisera l’endomorphisme \(a\) de la question précédente).

3. Soit \(P\) l’ensemble des produits scalaires sur \(E\). Déterminer \(\mathop{\bigcap}\limits\limits_{\Psi \in P}\mathscr{O}_{\Psi}(E)\).

[planches/ex9197] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(A\), \(B\) deux matrices de \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) qui n’ont pas \(-1\) pour valeur propre et telles que \(AB\) n’ait pas \(1\) pour valeur propre.

Montrer que \((A-I_n)(BA-I_n)^{-1}(B-I_n)\) est antisymétrique.

[oraux/ex0753] polytechnique MP 2009 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_{2n}(\mathbf{R})\) antisymétriques. Montrer que le polynôme caractéristique de \(AB\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et que ses racines sont d’ordre pair.

[concours/ex5946] centrale MP 2007

1. Soit \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) tel qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(p\geqslant 2\) dans \(\mathbf{N}\) tel que \(PUP^{-1}=U^p\). Montrer que toutes les valeurs propres de \(U\) sont des racines de l’unité. En déduire qu’il existe \(m\in\mathbf{N}^*\) tel que \(U^m=I_n\).

2. Montrer que tout morphisme du groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) est trivial.

[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.

[oraux/ex8193] ens paris MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(\mathscr{L}\) un endomorphisme de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). On suppose que : \(\forall O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\), \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}({}^tOSO)={}^tO\mathscr{L}(S)O\). Montrer qu’il existe \(\lambda\) et \(\mu\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(\forall S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(\mathscr{L}(S)=\mu S+\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S)I_n\).

[oraux/ex0483] polytechnique MP 2005 Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une base \(\mathscr{B}\).

1. Soit \(\varphi\) et \(\psi\) des formes bilinéaires symétriques positives sur \(E\). Montrer que si, pour tout \(x\in E\), \(\varphi(x,x)\leqslant\psi(x,x)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\varphi\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits_\mathscr{B}\psi\).

2. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire symétrique positive sur \(E\). On pose, pour \((z_1,\ldots,z_m)\in E^m\) : \(G(z_1,\ldots,z_m)=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\varphi(z_i,z_j))_{1\leqslant i,j\leqslant m}\). Soit \((x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in E^{p+q}\). Montrer que \[G(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\leqslant G(x_1,\ldots,x_p)G(y_1,\ldots,y_q).\]