Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1090] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Si \(G\) est un groupe, on note \(Z(G)\) son centre.

On pose \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})=\{A\in\mathcal M_n(\mathbf{C})\,,\, A^*A=I_n\}\) où \(A^*=\overline{A}^T\), l’ensemble des matrices unitaires.

1. Montrer que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\) et que \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) hermitienne, c’est-à-dire telle que \(A^*=A\). Démontrer qu’il existe \(P\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P^*AP\) soit diagonale.

3. Démontrer que toute matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) s’écrit comme combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

4. Déterminer \(Z\left(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\right)\).

[planches/ex4921] mines MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \({}^t\overline MM=I_n\).

1. Soit \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) symétrique. En considérant les parties réelle et imaginaire de \(A\), montrer que \(A\) s’écrit \(e^{iS}\) où \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Réciproque ?

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\in\mathscr{U}_n(\mathbf{C})\) si et seulement si \(A\) s’écrit \(Oe^{iS}\) avec \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex5247] ens MP 2007 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(S\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) antisymétrique telle que \(SA\) soit orthogonale.

[examen/ex3257] mines MP 2025 Soient \(n\), \(m\in\mathbf{N}^*\), \(S\in\mathscr{S}_m(\mathbf{R})\). On pose \(A=\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(n,\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(\pi_S))\), où l’on a noté \(\pi_S\) le polynôme minimal de \(S\).

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[planches/ex5862] polytechnique MP 2020 Soient \(n\) et \(p\) deux éléments de \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n\geqslant p\), \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbf{R})\) et \[S=\pmatrix{A&B\cr B^T&0}.\] Montrer que \(S\) est inversible si et seulement s’il existe \(C\in\mathscr{M}_{n,n-p}(\mathbf{R})\) de rang \(n-p\) telle que \(C^TB=0\) et \(C^TAC\) soit inversible.

[planches/ex7560] ens paris MP 2022 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(U\overline U^T=I_n\) et \(A=UB\overline U^T\). Montrer qu’il existe \(O\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=OBO^T\).

[examen/ex2719] ens paris MP 2025 Déterminer l’ensemble des symétries linéaires sur \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) qui fixent un hyperplan et stabilisent l’ensemble \(\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\).

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[concours/ex2145] polytechnique M 1995 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((x,y,z)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\). On pose \[M(x,y,z)=\left|\begin{array}{cccccc} x&y_1&y_2&\cdots&\cdots&y_n\\ y_1&z_1&0&\cdots&\cdots&0\\ y_2&0&z_2&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ y_{n-1}&0&\cdots&0&z_{n-1}&0\\ y_n&0&\cdots&\cdots&0&z_n \end{array}\right|.\]

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M(x,y,z)\).

2. On pose \(S=\{M(x,y,z)\ \hbox{positive}\}\), \(S_0=\{M(x,0,0)\mid x\geqslant 0\}\) et, pour \(1\leqslant i\leqslant n\), \[S_i=\{M\bigl(x,(0,\ldots,y_i,\ldots,0),(0,\ldots,z_i,\ldots,0)\bigr)\mid x\geqslant 0,\ z_i\geqslant 0,\ xz_i=y_i^2\}.\] Montrer que \(S=S_0+S_1+\cdots+S_n\).