Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8003] ens lyon MP 2014 Soit \(k\in\mathbf{N}^*\). On note \(N=(n_{i,j})\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) définie par \(n_{i,j}=\delta_{i+1,j}\). On fixe \(c\), \(c_1\) et \(c_2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’il existe une matrice hermitienne \(H\in\mathscr{M}_k(\mathbf{C})\) telle que : \[\forall W\in\mathbf{C}^k,\ W^*HW\geqslant c\sum\limits_{j=1}^k|w_j|^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(W^*HNW)\leqslant c_1|w_1|^2-c_2\sum\limits_{j=2}^k|w_j|^2.\] Indication : On cherchera \(H\) sous la forme d’une matrice tridiagonale à coefficients hors-diagonale imaginaire purs.

[planches/ex8523] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Pour \(k\in[[1,n]]\), on note \(A_k\) la matrice extraite de \(A\) constituée de ses \(k\) premières lignes et \(k\) premières colonnes, et on pose \(\Delta_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A_k)\).

1. 1. Écrire une fonction qui renvoie une matrice symétrique de taille \(n\), à coefficients aléatoirement choisis dans l’intervalle \([[-20,20]]\).

   2. Écrire une fonction, prenant une matrice carrée \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) en argument, et qui renvoie le couple \((\ell_1,\ell_2)\) où \(\ell_1=[\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1}]\) et \(\ell_2\) est la liste des valeurs propres de \(M\).

   3. Tester la fonction précédente sur différentes matrices symétriques. Que constate-t-on ?

   Soit \(D_p\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice diagonale dont les \(p\) premiers coefficients sont égaux à 1, et les suivants, égaux à \(-1\). On note \(\mathscr{O}_p=\{P^TD_pP,\ P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\}\).

2. Montrer que la relation \(\mathscr{R}\), définie par \(A\mathscr{R} B\) s’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(A=P^TBP\), est une relation d’équivalence sur \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

3. Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(p\in[[0,n]]\) tel que \(A\in\mathscr{O}_p\).

4. Soient \(p\), \(q\in[[0,n]]\). On suppose qu’il existe \(Q\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telle que \(D_p=Q^TD_qQ\) et on pose \(f:X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\longmapsto X^TD_pX\).

   1. Montrer qu’il existe deux sous-espaces vectoriels de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\) tels que \(\forall X\in F\setminus\{0\}\) (resp. \(G\setminus\{0\}\)), \(f(X)>0\) (resp. \(f(X)<0\)).

   2. En déduire que \(p\leqslant q\), puis que \(p=q\).

5. Montrer que \((\mathscr{O}_p)_{0\leqslant p\leqslant n}\) est une partition de \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\).

6. On suppose que les \(\Delta_k\) sont non nuls et qu’il existe \(Q\in\mathscr{M}_{n-1}(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure avec une diagonale de 1 telle que \(Q^TA_n^{-1}Q=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}/\Delta_{n-2})\).

   Montrer l’existence d’une matrice \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure à diagonale de 1 telle que \(P^TAP=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\Delta_1,\Delta_2/\Delta_1,\ldots,\Delta_n/\Delta_{n-1})\).

[concours/ex2430] ens paris M 1995 Soit \(G=O_2(\mathbf{R})\) le groupe des matrices orthogonales de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Soit \(F\in\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\). Si \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) sont dans \(\mathbf{R}^2\), on note \(F(x,y)=F(x_1,x_2,y_1,y_2)\). On fait agir \(G\) sur \(\mathbf{R}[x_1,x_2,x_3,x_4]\) par \(gF(x,y)=F(gx,gy)\). On suppose enfin que, pour tout \(g\) de \(G\), on a \(gF=F\).

1. Soit \(K(a,b,c)=F(a,0,b,c)\). Montrer que \(K\) est un polynôme en \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(ab\).

2. Montrer qu’il existe \(N\in\mathbf{R}[u,v,w]\) et \(\alpha\in\mathbf{N}\) tels que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\) : \[F(x,y)={N\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\over(x|x)^\alpha}.\]

3. Soit \(R\in\mathbf{R}[u,v,w]\) tel que, pour tout \(x\), \(y\) de \(\mathbf{R}^2\), on ait : \[R\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)=0.\] Montrer que \(R=0\).

4. En déduire que \(F\) est de la forme \(H\left((x|x),(y|y),(x|y)\right)\) où \(H\in\mathbf{R}[u,v,w]\).

[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).

1. Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).

2. Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).

3. reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).

4. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).

[oraux/ex8157] mines PC 2015 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{O}(E)\). Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\) une valeur propre de \(u\). Montrer que la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le polynôme caractéristique.

[oraux/ex0874] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soient \(\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_N\}\) un ensemble à \(N\geqslant 1\) éléments, \(A_1\), … , \(A_p\) des parties de \(\Omega\). Pour \((i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2\), on pose \(B_{i,j}=(A_i\cup A_j)\setminus(A_i\cap A_j)\), et on note \(b_{i,j}\) la cardinal de \(b_{i,j}\). Soit \((n_1,\ldots,n_p)\in\mathbf{Z}^p\) tel que \(n_1+\cdots+n_p=1\). On veut montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\le qi,j\leqslant p}n_in_jb_{i,j}\leqslant 0\).

1. Soit \(E=(e_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant p,\ 1\leqslant j\leqslant N}\in\mathscr{M}_{N,p}(\mathbf{R})\) où \(e_{i,j}=1\) si \(\omega_i\in A_j\) et \(e_{i,j}=0\) sinon. Soit \(F={}^tEE\). On pose \(F=(f_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Exprimer \(f_{i,j}\) en fonction de \(a_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(A_i\cap A_j)\).

2. Montrer qu’il existe \(X\in\mathbf{Z}^p\) que l’on déterminera tel que \({}^tXX=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\).

3. Montrer que : \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant p}n_in_ja_{i,j}\geqslant\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pn_ia_{i,i}\). En déduire l’inégalité souhaitée.

[concours/ex7801] ens cachan MP 2008 Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-1&0&\cdots&0&-1\\ -1&2&-1&0&&0\\ 0&-1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&0&\cdots&0&-1&2\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est une matrice symétrique positive mais pas strictement positive.

2. Soit \(f\in C^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\), 1-périodique. On pose \(F_n={}^t\left(\vphantom{|_|}f(1/n),f(2/n),\ldots,f(n/n)\right)\). On pose \(N(X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|x_k|,\ 1\leqslant k\leqslant n\}\) lorsque \(X={}^t(x_1,\ldots,x_n)\).

   On suppose que \(N(n^2MF_n+F_n)\rightarrow0\). Que dire de \(f\) ?

[oraux/ex8218] polytechnique MP 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de déterminant 1.

1. Notant \(\|\ \|\) la norme euclidienne canonique sur \(\mathbf{R}^n\), montrer qu’il existe \(u\in\mathbf{R}^n\) tel que \(\|u\|=\|Au\|=1\).

2. Établir l’existence de \(\Omega\) et \(\Omega'\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et de \(T\) triangulaire supérieure dont la diagonale ne comporte que des 1 telles que \(A=\Omega T\Omega'\).

[oraux/ex0635] ens lyon PC 2008 On se place dans \(\mathbf{R}^{2n}\) muni du produit scalaire canonique. Soit \(E\) le sous-espace vectoriel engendré par les \(n\) premiers vecteurs de la base canonique. On appelle \(\pi\) la projection orthogonale sur \(E\). Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(\forall x\in E\), \(\|\varphi(x)\|\leqslant\|x\|\). Montrer qu’il existe \(\sigma\in\mathscr{O}(\mathbf{R}^{2n})\) tel que \(\varphi=\pi\mathbin{\circ}\sigma_{|E}\).

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).