[planches/ex6348] hec courts E 2021 Soit \(a \in \mathbf{R}\). On note : \[A =\pmatrix{2 & 0 & 4\cr3 & -4 & 12\cr1 & -2 & 5},\qquad A_0 =\pmatrix{2+a & 0 & 4\cr3 & -4+a & 12\cr1 & -2 & 5+a}\qquad \hbox{et} \qquad P =\pmatrix{2 & -4 & -4\cr1 & 0 & 3\cr0 & 1 & 2}\]
[planches/ex6348]
Calculer \(AP\).
\(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? Donner une matrice semblable à \(A\).
Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle diagonalisable ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle inversible ?
[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.
[oraux/ex8670]
[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.
[concours/ex5003]
On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?
[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6038]
Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.
On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.
Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).
Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).
La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?
La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?
Déterminer les éléments propres de \(J\).
Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.
Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).
On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).
On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.
Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.
[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).
[planches/ex4129]
Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?
Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).
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