Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[planches/ex3731] mines PC 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\). On suppose que \(\lambda\in\mathbf{K}\) est une valeur propre de multiplicité 3.

1. Montrer que \(E_\lambda(A)\) est de dimension 1 si et seulement si la matrice \((\lambda I_3-A)\) est nilpotente d’indice 3.

2. Montrer que sous ces conditions \(A\) est semblable à \(\pmatrix{\lambda&1&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda}\).

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[concours/ex9932] polytechnique, espci PC 2010 Soit, pour \(t\in\mathbf{R}\) : \(M(t)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&t-2\\ 0&2&2-t\\1&1&t\end{array}\right)\). Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(M(t)\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex2046] mines PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\) et \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3=I_3\) et \(M\neq I_3\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) ? Donner ses valeurs propres.

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(M)\subset\{1,j,j^2\}\) et que les multiplicités de \(j\) et \(j^2\) sont les mêmes. Donner le spectre de \(M\).

3. Montrer que \(A\) et \(M\) sont semblables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\).

[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).

3. On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).

[oraux/ex6402] hec E 2013

1. Question de cours : condition suffisante de diagonalisabilité d’une matrice.

   Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr-2&1&2}\).

2. 1. Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que le système \(AX=\lambda X\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) possède des solutions non nulles si et seulement si \((\lambda^2-1)(\lambda-2)=0\). Donner alors les solutions de ce système.

   2. En déduire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite réelle définie par : pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+3}=2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_n\).

   On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) : \(X_n=\pmatrix{x_n\cr x_{n+1}\cr x_{n+2}}\) et \(Y_n=P^{-1}X_n\).

   1. Quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\), \(X_n\) et \(A\) ?

   2. En déduire l’expression de \(Y_n\) en fonction de \(n\), \(D\) et \(Y_0\).

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(x_0\), \(x_1\) et \(x_2\) pour que la suite \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) soit convergente (respectivement, pour que la série \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}x_n\) soit convergente).

4. On pose \(B=\pmatrix{5&0&-2\cr4&3&-4\cr8&0&-5}\) et pour tout \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(M(a,b)=\pmatrix{5b&a&2b\cr4b&3b&a-4b\cr-2a+8b&a&2a-5b}\).

   1. Montrer que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\). La réciproque est-elle vraie ?

   2. En déduire que \(M(a,b)\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

   3. Déterminer les couples \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) pour lesquels la suite \(\left(\vphantom{|_|}\smash{M(a,b)^n}\right)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers la matrice nulle, c’est-à-dire que chacun de ses neuf coefficients est le terme général d’une suite tendant vers 0.

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[examen/ex0805] imt PC 2023 Diagonaliser la matrice \(\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-3&0}\) en précisant une matrice de passage.

[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).

1. Définition et propriétés des matrices de passage.

2. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).

3. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

4. Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

5. \(f\) est-il diagonalisable ?

6. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

7. On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.

[oraux/ex5806] ccp PSI 2012 Soient \(z\in \mathbf{C}\) et \(A(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(A(z)\) est diagonalisable sauf pour une valeur particulière de \(z\) que l’on précisera.

2. Soit \(\theta\in \mathbf{R}\setminus 2\pi\mathbf{Z}\). Montrer qu’il existe un unique \(z\in\mathbf{C}\) pour lequel \(e^{i\theta}\) est valeur propre de \(A(z)\). Déterminer cette valeur \(z(\theta)\) et calculer son module.

3. Tracer la courbe polaire \(\rho=|z(\theta)|\).

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.

[examen/ex4144] imt PSI 2025 On considère \(A=\pmatrix{-1&4&0\cr0&1&0\cr1&0&3}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\). Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\) que l’on explicitera.

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est une matrice diagonale.

3. Soit \(P(X)=X^7+X+1\). Identifier les matrices \(M\) telles que \(P(M)=A\).

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[oraux/ex8655] imt PC 2016 Soit \(P=(X-1)^2\) et \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&-2&9\cr0&-1&4}\).

1. Déterminer les valeurs propres (complexes) de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(P(A)\). En déduire \(A^{-1}\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(T=\pmatrix{1&0&0\cr0&1&1\cr0&0&1}\).

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).

[planches/ex7429] escp S 2022

1. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_p)_{p \in \mathbb{N}}\) vérifiant la relation \[\forall p \in \mathbb{N},\quad u_{p+3} = 4\,u_{p+2} -5 u_{p+1} + 2u_p\]

   1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\).

   2. Vérifier que la suite \((p)_{p \in \mathbb{N}}\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. Déterminer les suites géométriques appartenant à \(\mathcal{E}\).

   4. En déduire l’expression des suites appartenant à \(\mathcal{E}\).

2. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \[A = \pmatrix{7&3&-4 \cr -6&-2&5 \cr 4&2&-1}\]

   1. Vérifier que \(1\) et \(2\) sont valeurs propres de \(A\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

   3. Justifier que \(A\) est semblable à \[T = \pmatrix{1&1&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&2}\]

   4. En déduire que le polynôme \(\, P(X) = (X-1)^2(X-2) \,\) est annulateur de \(A\).

3. 1. Justifier que \[\forall p \in \mathbb{N}\,,\; \exists (a_p,b_p,c_p) \in \mathbb{R}^3,\quad A^p = a_p\,A^2 + b_p\,A + c_p\,I_3\] où \(A\) a été définie dans la question précédente.

   2. Montrer que \((a_p)_{p \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}\).

   3. Expliciter \(A^p\) en fonction de \(A^2\), \(A\), \(I_3\).

   4. La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[concours/ex6635] hec E 2008 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\ -1&2&-1\\1&-1&2\end{array}\right).\]

1. 1. Trouver une relation entre \(A^2\), \(A\) et \(I\) (matrice identité d’ordre 3).

   2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.

2. Calculer les valeurs propres possibles de \(A\).

3. \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7467] centrale PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&-3\cr0&2&-1\cr1&0&2}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(B=I_3-A\). Trouver \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) tel que \((B^2X,BX,X)\) soit une base de \(\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\). En déduire une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit triangulaire.

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[oraux/ex6848] hec courts E 2016 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&0&2\cr1&-1&1}\).

1. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) et une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

2. On admet sans démonstration que \(A^3=0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par \(M=\pmatrix{0&1&1\cr0&1&2\cr1&-1&2}\).

   1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ? \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. Justifier que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I\) (matrice identité de \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\)).

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).

[examen/ex4031] imt MP 2025 Pour tout \(c\in\mathbf{R}\), on considère la matrice \(A(c)=\pmatrix{-c&1&-1\cr1&1-c&1\cr-1&-1&-c}\).

1. La matrice \(A(c)\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) telle que la matrice \(P^{-1}A(c)P\) soit triangulaire supérieure.

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).

[oraux/ex8592] PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{5&1&-1\cr2&4&-2\cr1&-1&3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Calculer \(A^n\).

3. Soient \(u_0=v_0=w_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\cases{u_{n+1}=5u_n+v_n-w_n\cr v_{n+1}=2u_n+4v_n-2w_n\cr w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n}\).

   Pour \(n\in\mathbf{N}\), calculer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\).

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[examen/ex0741] ccinp PSI 2023 Soient le système : \[\cases{u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n\cr v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n\cr w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}\quad\hbox{et}\quad X_n=\pmatrix{u_n\cr v_n\cr w_n}.\]

1. Trouver \(A\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\). Exprimer \(X_n\) en fonction de \(X_0\) et \(A\).

2. La matrice \(A\) est-t-elle diagonalisable ? Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est triangulaire supérieure.

3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\).

[concours/ex5039] escp B/L 2000 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les éléments propres de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.

   On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.

2. Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).

   Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).

   La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?

   La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?

3. Déterminer les éléments propres de \(J\).

4. Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.

5. Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).

6. On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).

   On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.

   Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).

1. Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

2. Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

4. Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex6393] hec courts E 2013 Soit \(A\) une matrice carrée de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est diagonalisable, \(A^3\) l’est aussi.

2. On suppose maintenant que \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).

   1. Calculer \(A^3\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.