Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7316] imt PSI 2021 Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension trois, \((e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour \(a\in\mathbf{C}\), soit \(f_a\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3\) et \(f_a(e_2)=0\).

1. Donner une base de l’image et du noyau de \(f_a\).

2. Donner la matrice de \(f_a\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\).

3. Calculer \(A^2\). Qu’en déduire ?

4. Quelles sont les valeurs propres de \(f_a\) ? Cet endomorphisme est-il inversible ? diagonalisable ?

[oraux/ex6385] hec courts S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On suppose que \(f\) n’est pas diagonalisable et qu’il vérifie : \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\mathbin{\circ}(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1}\).

[planches/ex7390] ccinp PC 2021 Pour \(a\), \(b\) réels, on pose \(M(a,b)=\pmatrix{a&0&b\cr a&b&a\cr b&0&a}\) et \(J=M(0,1)\), \(K=M(1,0)\).

1. Déterminer les éléments propres des matrices \(J\) et \(K\).

2. Les matrices \(J\) et \(K\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

[examen/ex4031] imt MP 2025 Pour tout \(c\in\mathbf{R}\), on considère la matrice \(A(c)=\pmatrix{-c&1&-1\cr1&1-c&1\cr-1&-1&-c}\).

1. La matrice \(A(c)\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) telle que la matrice \(P^{-1}A(c)P\) soit triangulaire supérieure.

[planches/ex5518] tpe MP 2019 Montrer de deux manières différentes que \(\pmatrix{0&1&2\cr1&0&1\cr1&0&0}\) et \(\pmatrix{0&1&1\cr1&0&2\cr0&1&0}\) sont semblables.

[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).

1. Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.

   On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.

2. Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.

3. Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?

[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.

   2. On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).

3. On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).

   1. Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).

   2. On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).

      Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).

4. Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).

5. Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\).
Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).

Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).

1. 1. Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\).
      On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).

   2. Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?

   3. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

2. Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).

3. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).

   1. Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).

   2. Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).

4. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?

5. En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[concours/ex6647] hec B/L 2008 Soit \(J\) la matrice : \[J=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\).

   La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer les valeurs de \(a\in\mathbf{R}\) pour que la matrice : \[M_a=\left(\begin{array}{ccc}a^3&2&1\\0&a^3-1&2\\0&1&a^3\end{array}\right)\] soit inversible.

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[oraux/ex8600] imt PSI 2016 Soient \(a\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{1&-1&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Pour \(a=1\), calculer \(A^n\).

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.

[concours/ex6635] hec E 2008 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\ -1&2&-1\\1&-1&2\end{array}\right).\]

1. 1. Trouver une relation entre \(A^2\), \(A\) et \(I\) (matrice identité d’ordre 3).

   2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.

2. Calculer les valeurs propres possibles de \(A\).

3. \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[oraux/ex7771] mines PSI 2016 Soit \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{K}^*\). Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{0&a&b\cr1/a&0&c\cr1/b&1/c&0}\).

[concours/ex1575] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 3&5&-1\\0&1&-3\\0&-1&3\end{array}\right)\). Montrer que toute matrice dont le carré est \(A\) est diagonalisable et trouver ces matrices.

[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).

1. Déterminer la loi du rang de \(A\).

2. Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[concours/ex6668] escp S 2008 Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a\cr a & a & a\cr a & 0 & 0 \end{array}\right)\]

1. Déterminer les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On considère l’équation d’inconnue \(X\), \((\star)\) : \(X^n=A\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(X\) un élément de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

   1. Soit \(X\) une solution éventuelle de \((\star)\).

      1. Montrer que \(XA=AX\).

      2. En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(X\).

   2. Montrer que \((\star)\) n’a pas de solution lorsque \(n\) est un entier pair.

3. Soit \(n\) un entier impair et \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

   1. Montrer que \({\cal B}=(e_1, e_2, e_1-e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

   2. Soit \(X\) une solution de \((\star)\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(X\). Montrer qu’il existe \((\alpha, \beta, \gamma)\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à la base \({\cal B}\), soit : \[\left(\begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \cr \gamma & \alpha & 0\cr {\beta-\alpha\over 2} & 0 & \beta \end{array}\right)\]

   3. Résoudre l’équation \((\star)\) lorsque \(n\) est un entier impair.

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[planches/ex6348] hec courts E 2021 Soit \(a \in \mathbf{R}\). On note : \[A =\pmatrix{2 & 0 & 4\cr3 & -4 & 12\cr1 & -2 & 5},\qquad A_0 =\pmatrix{2+a & 0 & 4\cr3 & -4+a & 12\cr1 & -2 & 5+a}\qquad \hbox{et} \qquad P =\pmatrix{2 & -4 & -4\cr1 & 0 & 3\cr0 & 1 & 2}\]

1. Calculer \(AP\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? Donner une matrice semblable à \(A\).

3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle diagonalisable ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle inversible ?

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[oraux/ex4687] hec courts E 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&1&-2\\2&2&-3\end{array}\right)\).

1. Calculer \(A^2-I\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[concours/ex6801] escp B/L 2009 Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A= \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 &-1 \\ -1 &-1 &3\end{array}\right)\).

On admet que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\lambda^3-3\lambda^2-4\lambda +8=0\).

1. Montrer que \(A\) admet trois valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) telles que : \[\lambda_1 <1<\lambda_2 <2< \lambda_3.\] La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles par \(f(x)= \displaystyle{1\over 6}( x^3-3x^2+2x+8)\).

   1. Montrer que \(f(\lambda_2)=\lambda_2\).

   2. Montrer que \(f([1,2])\subset [1,2]\).

   3. Montrer que pour tout \(\lambda\) de \([1,2]\), on a : \(|f(\lambda)-f(\lambda_2)|\leqslant\displaystyle{1\over3}|\lambda-\lambda_2|\).

3. Soit \((x_n)_{n\ge 0}\) la suite définie par \(x_0\in [1,2]\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(x_{n+1}=f(x_n)\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\).

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[oraux/ex5807] tpe PSI 2012 Discuter de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité en fonction du paramètre réel \(a\) de \(\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&-a&a\end{array} \right)\).

[oraux/ex7612] ensea MP 2014 Soit, pour \(a\in\mathbf{C}\) : \[M=\pmatrix{1+a&1&-1\cr2(1+a)&2&-2\cr-1&-1&1}.\] Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(M_A\) soit diagonalisable.

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).

[oraux/ex6393] hec courts E 2013 Soit \(A\) une matrice carrée de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est diagonalisable, \(A^3\) l’est aussi.

2. On suppose maintenant que \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).

   1. Calculer \(A^3\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7626] mines alès PC 2014 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \((u_0,u_1,u_2)\in\mathbf{R}^3\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+3}=6u_{n+2}+11u_{n+1}+6u_n\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(X_n={}^t(u_n,u_{n+1},u_{n+2})\). Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(X_{n+1}=AX_n\). Diagonaliser \(A\) puis donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et des conditions initiales.

[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.