Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex1081] polytechnique MP 1998 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

1. Étudier les valeurs propres de \(M\).

2. Soit \(\rho\) la valeur propre réelle, \(\sigma\) et \(\overline\sigma\) les valeurs propres non réelles. Montrer que \(\rho>1\) et \(|\sigma|<1\).

3. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\). Valeur de \(u_n\) en fonction de \(\rho\), \(\sigma\), \(\overline\sigma\) ? Formule de récurrence sur les \(u_n\) ?

4. Montrer que, pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), les séries \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha u_n)\) et \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha\rho^n)\) sont de même nature.

[planches/ex2661] imt MP 2017 Conditions sur \((a,b,c,d)\) pour que la matrice \(\pmatrix{1&a&b\cr0&2&c\cr0&0&d}\) soit diagonalisable ?

[concours/ex1689] polytechnique MP 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?

2. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\) pour tout \(n\). Exprimer \(u_n\) à l’aide des valeurs propres de \(M\). Définir \(u_n\) par une relation de récurrence linéaire.

3. Soit un entier \(q\geqslant 2\). Étudier la suite \((u_n)\) modulo \(q\). On commencera par \(q=4\) puis \(q=5\).

4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}u_n\right)\) ?

5. Soit \(\alpha\) la valeur propre réelle de \(M\). Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}\alpha^n\right)\) ?

[concours/ex7438] polytechnique 2003

1. Que dire des valeurs propres de la matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

2. On appelle \(a\) la valeur propre réelle de \(M\), \(b\) et \(c\) ses deux valeurs propres complexes conjuguées. Calculer \(U_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^n)\).

3. Soit \(k\) un réel. Comparer les séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) définies par : \(nV_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(kU_n)\) et \(nW_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(ka^n)\).

4. Montrer que \(U_n\) vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

5. Étudier la nature des séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) lorsque \(k=\pi\), \(k=\pi/2\) et \(k=\pi/4\).

[planches/ex5585] saint-cyr PSI 2019 Montrer que la matrice \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) est diagonalisable et trouver ses éléments propres.

[examen/ex2519] imt PSI 2024 Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\).

[examen/ex4143] imt PSI 2025 Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(f^3+f^2+f=0\). On suppose que \(f\) n’admet aucun polynôme annulateur non nul de degré inférieur ou égal à 2.

1. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(f)=2\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) puis que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

4. Soit \(x\) non nul dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Montrer que la famille \((x,f(x))\) est libre.

5. Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle \(f\) a pour matrice \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&-1}\).

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[oraux/ex6127] hec courts S 2013 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et \(M_x\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1&x&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Dans le cas ou elle n’est pas diagonalisable, montrer que \(M_x\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.

3. Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).

[examen/ex0595] imt MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr0&0&0}\) et \(C=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&0&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On veut montrer qu’il n’existe pas de matrice \(B\) telle que \(B^2=A\). On suppose l’existence d’une telle matrice.

   Trouver un polynôme annulateur simple de \(B\). Conclure.

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(C\).

[concours/ex9530] mines PC 2005 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que : \[\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b \end{array}\right)\] soit diagonalisable sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex3729] mines PC 2018 Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{C}\) pour lesquels \(\pmatrix{0&1&\alpha\cr1&0&0\cr0&1&0}\) est diagonalisable.

[planches/ex5584] imt PSI 2019 Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\).

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).

[oraux/ex6813] hec courts S 2016 On considère les deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(\mathbf{R}^3\) définis par : \[\cases{F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,1,1)\}\cr G=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x+y-2z=0\}}\] Trouver un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont le noyau est \(F\) et l’image \(G\).

Peut-on le choisir diagonalisable ?

[oraux/ex4246] centrale PSI 2011 Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) et \(U=A{}^tB+B{}^tA\). Déterminer les éléments propres de \(U\).

[ev.algebre/ex2184] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2181] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex5175] mines PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&5&0\cr3&6&5}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Diagonaliser \(A\). En déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

   Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbf{N},\quad u_{n+1}=-4u_n+6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n+5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n+5w_n.\] On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(X_n={}^t(u_n\ v_n\ w_n)\).

2. Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(A\) et de \(X_0\).

3. En déduire une expression de \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2224] Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) défini par \(f(x,y,z)=(x,0,y)\).

1. Déterminer le noyau et l’image de \(f\).

2. Soit \(E=\{(x,y,0)\mid(x,y)\in\mathbf{R}^2\}\). Déterminer \(f(E)\) et \(f^{-1}(E)\).

3. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2185] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[oraux/ex4646] escp courts 2011 Soient trois nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\). Calculer la matrice \(A^{7}\), avec : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1+i\sqrt3 &a&b\cr 0&1-i\sqrt 3&c\cr 0&0& 2\end{array}\right).\]

[planches/ex7316] imt PSI 2021 Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension trois, \((e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour \(a\in\mathbf{C}\), soit \(f_a\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3\) et \(f_a(e_2)=0\).

1. Donner une base de l’image et du noyau de \(f_a\).

2. Donner la matrice de \(f_a\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\).

3. Calculer \(A^2\). Qu’en déduire ?

4. Quelles sont les valeurs propres de \(f_a\) ? Cet endomorphisme est-il inversible ? diagonalisable ?

[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).

3. On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[concours/ex6801] escp B/L 2009 Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A= \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 &-1 \\ -1 &-1 &3\end{array}\right)\).

On admet que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\lambda^3-3\lambda^2-4\lambda +8=0\).

1. Montrer que \(A\) admet trois valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) telles que : \[\lambda_1 <1<\lambda_2 <2< \lambda_3.\] La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles par \(f(x)= \displaystyle{1\over 6}( x^3-3x^2+2x+8)\).

   1. Montrer que \(f(\lambda_2)=\lambda_2\).

   2. Montrer que \(f([1,2])\subset [1,2]\).

   3. Montrer que pour tout \(\lambda\) de \([1,2]\), on a : \(|f(\lambda)-f(\lambda_2)|\leqslant\displaystyle{1\over3}|\lambda-\lambda_2|\).

3. Soit \((x_n)_{n\ge 0}\) la suite définie par \(x_0\in [1,2]\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(x_{n+1}=f(x_n)\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\).

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex3731] mines PC 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\). On suppose que \(\lambda\in\mathbf{K}\) est une valeur propre de multiplicité 3.

1. Montrer que \(E_\lambda(A)\) est de dimension 1 si et seulement si la matrice \((\lambda I_3-A)\) est nilpotente d’indice 3.

2. Montrer que sous ces conditions \(A\) est semblable à \(\pmatrix{\lambda&1&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda}\).

[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\).
Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).

Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).

1. 1. Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\).
      On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).

   2. Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?

   3. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

2. Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).

3. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).

   1. Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).

   2. Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).

4. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?

5. En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.

On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex8655] imt PC 2016 Soit \(P=(X-1)^2\) et \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&-2&9\cr0&-1&4}\).

1. Déterminer les valeurs propres (complexes) de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(P(A)\). En déduire \(A^{-1}\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(T=\pmatrix{1&0&0\cr0&1&1\cr0&0&1}\).

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex5806] ccp PSI 2012 Soient \(z\in \mathbf{C}\) et \(A(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(A(z)\) est diagonalisable sauf pour une valeur particulière de \(z\) que l’on précisera.

2. Soit \(\theta\in \mathbf{R}\setminus 2\pi\mathbf{Z}\). Montrer qu’il existe un unique \(z\in\mathbf{C}\) pour lequel \(e^{i\theta}\) est valeur propre de \(A(z)\). Déterminer cette valeur \(z(\theta)\) et calculer son module.

3. Tracer la courbe polaire \(\rho=|z(\theta)|\).