Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6133] escp courts 2013 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels non nuls, et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Étudier la diagonalisabilité de la matrice \(A\).

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[concours/ex0500] tpe, int, ivp MP 1996 La matrice \[\left(\begin{array}{ccc}0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right)\] de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex6872] mines PSI 2021 Soit \(\varphi\in\mathbf{R}\). La matrice \(\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&0}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).