Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[ev.algebre/ex2146] Diagonaliser (si possible) la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[concours/ex0500] tpe, int, ivp MP 1996 La matrice \[\left(\begin{array}{ccc}0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right)\] de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) est-elle diagonalisable ?