Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).

[concours/ex0900] centrale MP 1997 Déterminer les éléments propres de \[A=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\b&a+c&b\\c&b&a\end{array}\right)\,.\]

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.