Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7316] imt PSI 2021 Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension trois, \((e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour \(a\in\mathbf{C}\), soit \(f_a\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3\) et \(f_a(e_2)=0\).

1. Donner une base de l’image et du noyau de \(f_a\).

2. Donner la matrice de \(f_a\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\).

3. Calculer \(A^2\). Qu’en déduire ?

4. Quelles sont les valeurs propres de \(f_a\) ? Cet endomorphisme est-il inversible ? diagonalisable ?

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).

[planches/ex3728] mines PC 2018 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(\pmatrix{1&2&0\cr2&1&0\cr0&1&0}\).

1. Soit \(a={}^t(1,-1,1)\). Calculer \(f(a)\).

2. Déterminer les éléments propres de \(f\).

3. Déterminer les \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(f^3=g^3\).

[planches/ex7429] escp S 2022

1. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_p)_{p \in \mathbb{N}}\) vérifiant la relation \[\forall p \in \mathbb{N},\quad u_{p+3} = 4\,u_{p+2} -5 u_{p+1} + 2u_p\]

   1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\).

   2. Vérifier que la suite \((p)_{p \in \mathbb{N}}\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. Déterminer les suites géométriques appartenant à \(\mathcal{E}\).

   4. En déduire l’expression des suites appartenant à \(\mathcal{E}\).

2. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \[A = \pmatrix{7&3&-4 \cr -6&-2&5 \cr 4&2&-1}\]

   1. Vérifier que \(1\) et \(2\) sont valeurs propres de \(A\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

   3. Justifier que \(A\) est semblable à \[T = \pmatrix{1&1&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&2}\]

   4. En déduire que le polynôme \(\, P(X) = (X-1)^2(X-2) \,\) est annulateur de \(A\).

3. 1. Justifier que \[\forall p \in \mathbb{N}\,,\; \exists (a_p,b_p,c_p) \in \mathbb{R}^3,\quad A^p = a_p\,A^2 + b_p\,A + c_p\,I_3\] où \(A\) a été définie dans la question précédente.

   2. Montrer que \((a_p)_{p \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}\).

   3. Expliciter \(A^p\) en fonction de \(A^2\), \(A\), \(I_3\).

   4. La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).