Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8333] mines PC 2022 Soit \((a,\alpha)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M=\pmatrix{0&a&a^2\cr a^{-1}&0&a\cr a^{-2}&a^{-1}&0}\) et \(B_\alpha=\pmatrix{\alpha&a&a^2\cr a^{-1}&\alpha&a\cr a^{-2}&a^{-1}&\alpha}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Déterminer si \(M\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(M\).

4. Déterminer si \(B_\alpha\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(B_\alpha\).

[concours/ex6722] escp B/L 2008 Soit \(a\) un réel non nul, et \(A\) la matrice définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ 1/a&0&a\\ {1}/{a^2}&1/a&0\end{array}\right)\)

1. Calculer \(A^2\).

2. Trouver un polynôme \(P\) unitaire et de degré \(2\) annulateur de \(A\), c’est-à-dire un polynôme \(P\) de la forme \(X^2+\alpha X +\beta\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\), où \(I\) désigne la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

3. Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Donner son inverse.

4. Déterminer une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(A\).

5. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ?

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex1912] mines PSI 2024 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\displaystyle\frac{1}{3}\pmatrix{2&2&-1\cr-1&2&2\cr2&-1&2}\). Déterminer sa nature et ses valeurs propres.

[concours/ex4897] escp S 2001 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\ 2&1&1\\ 0&0&3\end{array}\right).\]

1. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), \((a,b,c)\neq (0,0,0)\). Montrer que \[P=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3 /\ ax+by+cz=0\}\] est un sous-espace vectoriel de dimension \(2\) (appelé aussi plan vectoriel) de \(\mathbf{R}^3\).

2. Soient \(P\) d’équation \(ax+by+cz=0\) et \(Q\) d’équation \(ux+vy+wz=0\) deux tels plans.

   Montrer que \(P= Q\) si et seulement s’il existe \(\lambda \in\mathbf{R}^*\) tel que \((u,v,w)=\lambda(a,b,c)\).

3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

4. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbf{R}^3\) est dit stable par \(f\) si \(f(F)\subset F\).

   Déterminer les sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(f\).

[oraux/ex4036] mines PC 2011 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). On suppose que \(-1\) et 1 sont des valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?