Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

[oraux/ex7777] mines PSI 2016 Déterminer les classes de similitude de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).

1. Déterminer la loi du rang de \(A\).

2. Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.