[examen/ex0741] ccinp PSI 2023 Soient le système : \[\cases{u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n\cr v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n\cr w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}\quad\hbox{et}\quad X_n=\pmatrix{u_n\cr v_n\cr w_n}.\]
[examen/ex0741]
Trouver \(A\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\). Exprimer \(X_n\) en fonction de \(X_0\) et \(A\).
La matrice \(A\) est-t-elle diagonalisable ? Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est triangulaire supérieure.
Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\).
[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[concours/ex9105]
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).
Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).
Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).
\(M\) est-elle diagonalisable ?
[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).
[planches/ex5177]
Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).
Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).
On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).
Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).
Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).
Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6038]
Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.
On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.
Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).
Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).
La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?
La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?
Déterminer les éléments propres de \(J\).
Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.
Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).
On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).
On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.
Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.
[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.
[concours/ex9973]
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