Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0741] ccinp PSI 2023 Soient le système : \[\cases{u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n\cr v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n\cr w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}\quad\hbox{et}\quad X_n=\pmatrix{u_n\cr v_n\cr w_n}.\]

1. Trouver \(A\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\). Exprimer \(X_n\) en fonction de \(X_0\) et \(A\).

2. La matrice \(A\) est-t-elle diagonalisable ? Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est triangulaire supérieure.

3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\).

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.