Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7771] mines PSI 2016 Soit \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{K}^*\). Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{0&a&b\cr1/a&0&c\cr1/b&1/c&0}\).

[ev.algebre/ex2193] Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&-2&-1\\2&-1&-2\\ -2&2&4\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).

2. Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[concours/ex0168] mines MP 1996 Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\).

1. Trouver le polynôme caractéristique, les valeurs propres de \(A\).

2. Exprimer, pour \(\lambda\) tel que \(A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est inversible, \((A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(A\), \(A^2\).

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).