Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.

[oraux/ex7771] mines PSI 2016 Soit \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{K}^*\). Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{0&a&b\cr1/a&0&c\cr1/b&1/c&0}\).

[oraux/ex5807] tpe PSI 2012 Discuter de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité en fonction du paramètre réel \(a\) de \(\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&-a&a\end{array} \right)\).

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?