Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[oraux/ex7467] centrale PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&-3\cr0&2&-1\cr1&0&2}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(B=I_3-A\). Trouver \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) tel que \((B^2X,BX,X)\) soit une base de \(\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\). En déduire une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit triangulaire.

[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).

1. Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

2. Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

4. Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).